Оглавление
Сумма Гаусса
-
Определение сумм Гаусса
- Сумма Гаусса — это конечная сумма корней из единицы.
- Сумма равна элементам конечного коммутативного кольца R.
- θ — групповой гомоморфизм аддитивной группы R+ в единичную окружность.
- θ — групповой гомоморфизм единичной группы R× в единичную окружность, расширенный до не единичного r.
-
История и свойства
- Карл Фридрих Гаусс рассматривал квадратичные суммы Гаусса.
- Гаусс доказал, что G(∞) = p1/2 или ip1/2 для p, равного 1 или 3 по модулю 4.
- Суммы Гаусса тесно связаны с теорией тета-функций.
- Общая теория сумм Гаусса была разработана в начале 19 века.
-
Свойства сумм Гаусса символов Дирихле
- Сумма Гаусса символа Дирихле по модулю N равна G(χ) = N.
- Если χ примитивно, G(χ) отличен от нуля.
- G(χ) не равно нулю, если N/N0 не имеет квадратов и относительно просто равно N0.
-
Дополнительные свойства
- Суммы Гаусса могут быть использованы для доказательства квадратичной, кубической и квартичной взаимности.
- Суммы Гаусса могут быть использованы для вычисления числа решений полиномиальных уравнений над конечными полями.
-
Связанные понятия
- Квадратичная сумма Гаусса
- Эллиптическая сумма Гаусса
- Сумма Якоби
- Общая сумма
- Сумма Клоостермана
- Период Гаусса
- Соотношение Хассе–Дэвенпорта
- Теорема Чоулы–Морделла
- Теорема Стикельбергера