Оглавление
- 1 Теорема Фробениуса (дифференциальная топология)
- 1.1 Теорема Фробениуса
- 1.2 Обобщение теоремы существования
- 1.3 Контактная геометрия
- 1.4 Пример с траекторией частицы
- 1.5 Теорема Каратеодори
- 1.6 Несколько одноформатных
- 1.7 От анализа к геометрии
- 1.8 Теорема Фробениуса на современном языке
- 1.9 Интегрируемость и слоистость
- 1.10 Теорема Фробениуса
- 1.11 Обобщения и приложения
- 1.12 История и приложения
- 1.13 Полный текст статьи:
- 2 Теорема Фробениуса (дифференциальная топология) – Arc.Ask3.Ru
Теорема Фробениуса (дифференциальная топология)
-
Теорема Фробениуса
- Дает условия для нахождения максимального набора независимых решений переопределенной системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка
- В современных терминах: условия интегрируемости для существования слоения по максимальным интегральным многообразиям
-
Обобщение теоремы существования
- Гарантирует, что одно векторное поле всегда приводит к появлению интегральных кривых
- Фробениус дает условия совместимости для объединения интегральных кривых r векторных полей в координатные сетки на r-мерных интегральных многообразиях
-
Контактная геометрия
- Изучает 1-формы, нарушающие предположения теоремы Фробениуса
-
Пример с траекторией частицы
- Траектория частицы в трехмерном пространстве описывается уравнением adx + bdy + cdz = 0
- Теорема Фробениуса утверждает, что если ω ∧ dω = 0, то петли замыкаются и поверхности двумерны
-
Теорема Каратеодори
- Доказывает, что интегрируемая одномоментная форма ω = fdg для некоторых скалярных функций f и g
-
Несколько одноформатных
- Теорема рассматривает задачу нахождения максимального набора независимых решений системы линейных дифференциальных уравнений
- Операторы Lk должны удовлетворять условию инволютивности для существования локального решения
-
От анализа к геометрии
- Решения системы дифференциальных уравнений могут быть описаны через поверхности уровня
- Решения находятся во взаимно однозначном соответствии с функциями на семействах множеств уровней
-
Теорема Фробениуса на современном языке
- Формулировка с использованием векторных полей: подслоение касательного расслоения интегрируемо тогда и только тогда, когда оно возникает из правильного расслоения
- Векторное поле определяет семейство кривых, интегральные кривые образуют правильное расслоение
-
Интегрируемость и слоистость
- Интегрируемость определяется локально для векторных полей X и Y.
- Слоистость — это разложение многообразия на непересекающиеся подмногообразия.
-
Теорема Фробениуса
- Подсоединение E интегрируемо тогда и только тогда, когда оно возникает из регулярного расслоения M.
- Теорема утверждает, что интегрируемый модуль 1-форм ранга r — это слоение коразмерности-r.
-
Обобщения и приложения
- Теорема обобщается на бесконечномерные и банаховы многообразия.
- В классической термодинамике теорема используется для построения энтропии и температуры.
-
История и приложения
- Теорема была доказана Альфредом Клебшем и Федором Деаной.
- В классической механике интегрируемость определяет голономность системы.
- В микроэкономической теории теорема используется для доказательства существования решения проблемы интегрируемости функций спроса.