Оглавление
Теорема Голдстайна
-
Теорема Голдстайна
- Теорема Голдстайна утверждает, что в банаховом пространстве вещественных последовательностей, сходящихся к нулю, существует элемент, удовлетворяющий определенным условиям.
- Вывод теоремы неверен для нормальной топологии, что можно увидеть на примере пространства c0 и его двухуровневого пространства Lp space.
-
Доказательство леммы
- Лемма утверждает, что для всех x’ ∈ B’ и φ1, …, φn ∈ X’ и δ > 0 существует x ∈ (1 + δ)B такой, что φi(x) = x’ (φi) для всех 1 ≤ i ≤ n.
- Доказательство основано на сюръективности отображения Φ: X → Cn, x ↦ (φ1(x), …, φn(x)).
- Пересечение (x + Y) ∩ (1 + δ)B непусто, так как оно удовлетворяет условиям леммы.
-
Доказательство теоремы
- Для x’ ∈ B’ и φ1, …, φn ∈ X’ и ϵ > 0 определяется набор U: {y’ ∈ X’ : |(x’ – y’) (φi)| < ϵ, 1 ≤ i ≤ n}.
- Вложение J: X → X’ определяется как J(x) = Evx, где Evx(φ) = φ(x).
- Лемма утверждает, что для любого δ > 0 существует x ∈ (1 + δ)B такой, что Evx ∈ U.
- Для достаточно малого δ > 0, 1/1 + δEvx ∈ J(B) ∩ U.
- Непосредственная проверка показывает, что |[x’ – 1/1 + δEvx] (φi)| ≤ δ/1 + δ|φi(x)|.
- Выбор δ так, чтобы δM < ϵ, дает 1/1 + δEvx ∈ J(B) ∩ U по желанию.