Оглавление
Теорема о расширении М. Рисса
-
Теорема о расширении Рисса
- Теорема доказана Марселем Риссом
- Формулировка: линейный функционал на подпространстве не может быть расширен до линейного функционала на всём пространстве
-
Пример контрпримера
- В двух измерениях можно получить контрпример
- Пример: E = R2, K = {(x, y) : y > 0} ∪ {(x, 0) : x > 0}, F = x-ось
- Позитивный функционал ϕ(x, 0) = x не может быть расширен
-
Доказательство теоремы
- Доказательство аналогично доказательству теоремы Хана–Банаха
- Используется трансфинитная индукция или лемма Цорна
- Доказательство для случая dim E/F = 1
-
Следствие: теорема Крейна о расширении
- Существует K-положительный линейный функционал φ: E → R, такой что φ(x) > 0
-
Связь с теоремой Хана–Банаха
- Теорема Хана–Банаха может быть выведена из теоремы о расширении Рисса
- Определяется выпуклый конус K ∈ R × V
- Функционал φ1 на R×U является K-положительным
- Функционал θ1 на R×V является желаемым продолжением φ
-
Рекомендации
- Источники и рекомендации по оформлению