Оглавление
- 1 Теорема о коммутации для следов
- 1.1 Теорема о коммутации для следов
- 1.2 Применение в теории унитарных представлений
- 1.3 Теория алгебр Гильберта
- 1.4 Примеры алгебр Гильберта
- 1.5 Определение L2 (K \ G / K)
- 1.6 Свойства Гильбертовых алгебр
- 1.7 Ограниченные элементы и их свойства
- 1.8 Теорема о коммутации и её следствия
- 1.9 Функционал τ и его свойства
- 1.10 Полный текст статьи:
- 2 Теорема о коммутации следов – Arc.Ask3.Ru
Теорема о коммутации для следов
-
Теорема о коммутации для следов
- Определяет коммутант алгебры фон Неймана на гильбертовом пространстве при наличии следа.
- Доказана Фрэнсисом Джозефом Мюрреем и Джоном фон Нейманом в 1930-х годах.
- Применяется к алгебре фон Неймана, порожденной дискретной группой или динамической системой.
-
Применение в теории унитарных представлений
- Используется в теории унитарных представлений унимодулярных локально компактных групп.
- Приводит к абстрактной версии теоремы Планшереля для унимодулярных локально компактных групп.
- Разработана Ирвингом Сигалом и Форрестом Стайнспрингом.
-
Теория алгебр Гильберта
- Введена Жаком Диксмье в 1950-х годах.
- Обобщена Такесаки для доказательства теорем о коммутации для полуконечных весов.
- Алгебры Гильберта связаны с алгебрами фон Неймана с полуконечными следами.
-
Примеры алгебр Гильберта
- Операторы Гильберта–Шмидта в бесконечномерном гильбертовом пространстве.
- Алгебра L∈ (X) ∩ L2 (X) для бесконечного пространства измерений (X, μ).
- *-подалгебра M0 алгебры фон Неймана с точным полуконечным следом τ.
- Алгебра свертки L1 (G) ∩ L2 (G) для унимодулярной локально компактной группы G.
- Алгебра свертки L1 (K \G /K) ∩ L2 (K) для пары Гельфанда (G, K).
-
Определение L2 (K \ G / K)
- L2 (K \ G / K) — алгебра Гильберта с обычным внутренним произведением от L2 (G)
- Lp (K \ G / K) обозначает замкнутое подпространство K-биинвариантных функций в Lp (G)
-
Свойства Гильбертовых алгебр
- Любая плотная *-подалгебра Гильбертовой алгебры также является Гильбертовой алгеброй
- Теорема о коммутации для алгебр Гильберта утверждает, что действия λ и ρ коммутируют
-
Ограниченные элементы и их свойства
- Элемент x в H ограничен, если отображение a → xa простирается до ограниченного оператора λ(x)
- Jx также является ограниченным элементом, обозначаемым x*
- a → ax задается ограниченным оператором ρ(x) = Jλ(x*)J
- λ(x) и ρ(y) коммутируют для ограниченных x и y
-
Теорема о коммутации и её следствия
- Теорема о коммутации следует из последнего утверждения
- M = λ(B)″, где B — пространство всех ограниченных элементов
- B образует Гильбертову алгебру, содержащую A как плотную *-подалгебру
-
Функционал τ и его свойства
- Функционал τ на M+ определяет точный полуконечный след на M с M0 = B
- M0 — пространство всех ограниченных элементов