Оглавление
Теорема о равнораспределении
-
Теорема о равнораспределении
- Утверждает, что последовательность равномерно распределена по окружности R/Z, когда a – иррациональное число
- Частный случай эргодической теоремы с нормализованной мерой угла μ = dθ/2π
-
История
- Доказана в 1909 и 1910 годах Вейлем, Серпиньским и Болем
- Варианты теоремы продолжают изучаться
-
Обобщения
- Вейль доказал, что последовательность a, 22a, 32a, … mod 1 равномерно распределена по единичному интервалу
- Виноградов доказал, что последовательность pn по модулю 1 равномерно распределена
- Биркофф и Хинчин доказали, что обобщение x + na почти для всех x равномерно распределено на измеримом подмножестве единичного интервала
- Бурген доказал обобщения результатов Вейля и Виноградова
-
Современные формулировки
- Вопрос о сохранении идентичности при общей последовательности bk
- Последовательность 2ka mod 1 равномерно распределена почти для всех, но не для всех иррациональных a
- Последовательность bk = 2ka считается универсально плохой последовательностью усреднения
-
Критерий Вейля
- Равнораспределение эквивалентно нетривиальной оценке экспоненциальных сумм
- Для кратного a, критерий Вейля сводит задачу к суммированию конечных геометрических рядов
-
Дополнительные ссылки
- Диофантово приближение
- Последовательность с низким уровнем расхождений
- Аппроксимационная теорема Дирихле
- Теорема о трех промежутках