Оглавление [Скрыть]
- 1 Теорема о замкнутой подгруппе
- 1.1 Теорема о замкнутых подгруппах
- 1.2 Определение алгебры Ли H
- 1.3 Лемма о близости к тождеству
- 1.4 Пример незамкнутой подгруппы
- 1.5 Приложения и условия замкнутости
- 1.6 Доказательство теоремы
- 1.7 Доказательство ключевой леммы
- 1.8 Определение отображения Φ
- 1.9 Доказательство аналитичности Φ
- 1.10 Доказательство леммы
- 1.11 Построение координатных диаграмм
- 1.12 Доказательство вложенности H
- 1.13 Дополнительные замечания
- 1.14 Полный текст статьи:
- 2 Теорема о замкнутой подгруппе
Теорема о замкнутой подгруппе
-
Теорема о замкнутых подгруппах
- Теорема утверждает, что замкнутая подгруппа H группы Ли G является вложенной группой Ли с гладкой структурой.
- Теорема была впервые опубликована Эли Картаном в 1930 году.
-
Определение алгебры Ли H
- Алгебра Ли H определяется как касательное пространство H в тождестве.
- Алгебра Ли h является подалгеброй Ли из g.
-
Лемма о близости к тождеству
- Лемма утверждает, что в малой окрестности начала координат в g экспоненциальное отображение диффеоморфно.
- В этих координатах H выглядит как h ⊂ g.
-
Пример незамкнутой подгруппы
- Пример показывает, что H может быть не вложенной подгруппой Ли.
- В относительной топологии H не подключен к локальному пути.
-
Приложения и условия замкнутости
- Теорема упрощает гипотезы в теории представлений и физике элементарных частиц.
- Замкнутые подгруппы дают однородные пространства.
- Локально замкнутые подгруппы замкнуты.
- Подгруппы, порожденные компактными группами, замкнуты.
- Идеальные подалгебры Ли замкнуты.
-
Доказательство теоремы
- Доказательство приведено для матричных групп GL(n, R).
- Исторически доказательство было впервые доказано Джоном фон Нейманом в 1929 году.
-
Доказательство ключевой леммы
- H замкнуто в GL(n, R), если H ∈ G, где G замкнуто в GL(n, R).
- Специализация на GL(n, R) не имеет большого значения.
-
Определение отображения Φ
- Наделим g внутренним произведением и определим h как алгебру Ли для H.
- Определим отображение Φ : g → GL(n, R) с помощью (S, T) ∈ eSeT.
- Φ(S, T) = etS etT = I + tS + tT + O(t2).
-
Доказательство аналитичности Φ
- Φ∗(S, T) = Id, тождество.
- Гипотеза теоремы об обратной функции удовлетворяется при аналитичности Φ.
-
Доказательство леммы
- Для j ≥ i изображение в H из Bj при Φ образует базис окрестности в точке I.
- Топология, генерируемая этими базами, совпадает с топологией группы.
-
Построение координатных диаграмм
- Определим φ1 : e(U) ∈ G → g, g ∈ log(g).
- φ1(h) ∈ h для h ∈ H.
- (eU, φ1) – это срезная диаграмма.
-
Доказательство вложенности H
- Преобразуя диаграммы, получаем диаграммы срезов вокруг каждой точки в H.
- H является вложенным подмногообразием G.
- Умножение m и обращение i в H аналитические.
-
Дополнительные замечания
- H является встроенным подмногообразием G.
- m : H × H → H и i : H × H → H также аналитические.