Теорема Титчмарша о свертке

Оглавление1 Теорема о свертке Титчмарша1.1 Теорема о свертке Титчмарша1.2 Основные утверждения1.3 Следствия1.4 Переформулировка1.5 Многомерное обобщение1.6 Доказательства1.7 Полный текст статьи:2 Теорема […]

Теорема о свертке Титчмарша

  • Теорема о свертке Титчмарша

    • Доказана Эдвардом Чарльзом Титчмаршем в 1926 году  
    • Описывает свойства носителя свертки двух функций  
  • Основные утверждения

    • Если φ(t) и ψ(t) интегрируемы и почти везде в промежутке 0 < x < κ, то существуют λ ≥ 0 и μ ≥ 0 такие, что φ(t) = 0 почти везде в 0 < t < λ и ψ(t) = 0 почти везде в 0 < t < μ.  
    • Если интеграл равен 0 для всех x > 0, то либо φ, либо ψ почти везде равно 0 в интервале [0, +∞).  
    • Свертка двух функций на [0, +∞) не может быть тождественно равна нулю, если хотя бы одна из функций не равна тождественно нулю.  
  • Следствия

    • Если φ ∗ ψ(x) = 0 для всех x ∈ [0, κ] и одна из функций почти везде в этом интервале не равна null, то другая функция должна быть равна null почти везде в этом интервале.  
  • Переформулировка

    • Теорема утверждает, что включение supp φ ∗ ψ ⊂ supp φ + supp ψ имеет резкую границу.  
  • Многомерное обобщение

    • Доказано Жаком-Луи Лионом в 1951 году  
    • Обозначает выпуклую оболочку множества и пространство распределений с компактной поддержкой  
  • Доказательства

    • Оригинальное доказательство Титчмарша использует методы комплексных переменных  
    • С тех пор теорема была доказана еще несколько раз с использованием методов действительной или комплексной переменной  
    • Джан-Карло Рота считает, что ни одно доказательство не затрагивает комбинаторную структуру, необходимую для полного понимания  

Полный текст статьи:

Теорема Титчмарша о свертке

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх