Оглавление [Скрыть]
Теорема о свертке Титчмарша
-
Теорема о свертке Титчмарша
- Доказана Эдвардом Чарльзом Титчмаршем в 1926 году
- Описывает свойства носителя свертки двух функций
-
Основные утверждения
- Если φ(t) и ψ(t) интегрируемы и почти везде в промежутке 0 < x < κ, то существуют λ ≥ 0 и μ ≥ 0 такие, что φ(t) = 0 почти везде в 0 < t < λ и ψ(t) = 0 почти везде в 0 < t < μ.
- Если интеграл равен 0 для всех x > 0, то либо φ, либо ψ почти везде равно 0 в интервале [0, +∞).
- Свертка двух функций на [0, +∞) не может быть тождественно равна нулю, если хотя бы одна из функций не равна тождественно нулю.
-
Следствия
- Если φ ∗ ψ(x) = 0 для всех x ∈ [0, κ] и одна из функций почти везде в этом интервале не равна null, то другая функция должна быть равна null почти везде в этом интервале.
-
Переформулировка
- Теорема утверждает, что включение supp φ ∗ ψ ⊂ supp φ + supp ψ имеет резкую границу.
-
Многомерное обобщение
- Доказано Жаком-Луи Лионом в 1951 году
- Обозначает выпуклую оболочку множества и пространство распределений с компактной поддержкой
-
Доказательства
- Оригинальное доказательство Титчмарша использует методы комплексных переменных
- С тех пор теорема была доказана еще несколько раз с использованием методов действительной или комплексной переменной
- Джан-Карло Рота считает, что ни одно доказательство не затрагивает комбинаторную структуру, необходимую для полного понимания