Теоремы Силова
-
Теоремы Силова
- Набор теорем, названных в честь Питера Людвига Силова
- Дают информацию о количестве подгрупп фиксированного порядка в конечной группе
- Важны для классификации конечных простых групп
-
Определение силовских подгрупп
- Силовская p-подгруппа — максимальная p-подгруппа в группе
- Совокупность всех силовских p-подгрупп для данного p — Sylp(G)
-
Теорема Лагранжа
- Порядок каждой подгруппы группы разделяет порядок группы
-
Теорема Силова (1)
- Для каждого простого множителя p порядка группы существует силовская p-подгруппа порядка p^n
-
Теорема Коши
- Для конечной группы и простого числа p, делящего порядок группы, существует элемент порядка p
-
Теорема Силова (2)
- Все силовские p-подгруппы сопряжены друг с другом
-
Теорема Силова (3)
- Число силовских p-подгрупп делится на индекс силовской p-подгруппы
- Число силовских p-подгрупп равно порядку нормализатора силовской p-подгруппы
-
Последствия теорем Силова
- Каждый силовская p-подгруппа имеет порядок p^n
- Силовская p-подгруппа является нормальной подгруппой, если n_p = 1
- Группы первичной мощности не имеют надлежащего уровня p-подгрупп
-
Теоремы Силова для бесконечных групп
- Силовская p-подгруппа в бесконечной группе — максимальная p-подгруппа
- Если n_p = |Cl(K)| конечна, то каждая силовская p-подгруппа сопряжена с K и n_p ≡ 1 (mod p)
-
Примеры
- Двугранная группа D2n: при нечетных n подгруппы порядка 2 являются силовскими, при четных n подгруппы порядка 2 делятся на два класса сопряженности
- Силовские p-подгруппы GL2(Fq): порядок равен p2n, все подгруппы абелевы
-
Теорема Силова и её применение
- Теорема Силова доказывает, что группа определённого порядка не является простой.
- Для групп малого порядка условия конгруэнтности теоремы Силова часто достаточно для существования нормальной подгруппы.
-
Циклические групповые заказы
- Некоторые не простые числа n таковы, что каждая группа порядка n является циклической.
- Пример: n = 15, где каждая группа порядка 15 является циклической.
-
Небольшие группы и их свойства
- Теорема Бернсайда о pa qb утверждает, что если порядок группы является произведением одной или двух простых степеней, то она разрешима и не является простой.
- Пример: группа порядка 30 не может быть простой, так как имеет 20 элементов порядка 3 и 24 элемента порядка 5.
-
Теорема Вильсона
- Теорема Вильсона утверждает, что для каждого простого числа p число np силовских p-подгрупп в симметричной группе Sp равно (с − 2)!.
- Доказательство основано на третьей теореме Силова.
-
Результаты слияния
- Аргумент Фраттини показывает, что силовская подгруппа нормальной подгруппы обеспечивает факторизацию конечной группы.
- Теорема Бернсайда о слиянии утверждает, что если G — конечная группа с Силовской p-подгруппой P и двумя подмножествами A и B, нормализованными на P, то A и B являются G-сопряженными тогда и только тогда, когда они NG(P)-сопряжены.
-
Доказательства теорем Силова
- Теоремы Силова были доказаны несколькими способами, включая использование группового действия.
- Доказательства основаны на комбинаторных аргументах Виландта.
-
Лемма и теорема (1)
- Лемма утверждает, что если H — конечная p-группа, а Ω — конечное множество, на которое действует H, то |Ω| ≡ |Ω0| (по модулю p).
- Теорема (1) утверждает, что конечная группа G, порядок которой делится на простую степень pk, имеет подгруппу порядка pk.
-
Лемма и теорема (2)
- Лемма утверждает, что если H является p-подгруппой G, а P — силовской p-подгруппой G, то в G существует такой элемент g, что g−1Hg ≤ P.
- Теорема (2) утверждает, что все силовские p-подгруппы G сопряжены друг с другом.
-
Лемма и теорема (3)
- Лемма утверждает, что если q обозначает порядок любой силовской p-подгруппы P конечной группы G, то np = [G : NG(P)], np делит |G|/q и np ≈ 1 (по модулю p).
- Теорема (3) утверждает, что np = [G : NG(P)] и np делит |G|/q.
-
Доказательство существования силовских p-подгрупп
- Если H является p-подгруппой G и индекс [G: H] делится на p, то нормализатор N = NG (H) также делится на p.
- Полициклическую порождающую систему силовской p-подгруппы можно найти, начав с любой p-подгруппы H и взяв элементы порядка p-степени из нормализатора H.
-
Алгоритмы и улучшения
- Алгоритмическая версия описана в Butler [10] и Cannon [11].
- Эти алгоритмы используются в системе компьютерной алгебры GAP.
-
Группы перестановок
- В работах Кантора [12] [13][14] и Кантора и Тейлора [15] доказано, что силовская p-подгруппа и ее нормализатор могут быть найдены за полиномиальное время ввода.
- Эти алгоритмы описаны в Seress [16] и используются в системе компьютерной алгебры Magma.
-
Дополнительные ресурсы
- Аргументация Фраттини
- Подгруппа холла
- Максимальная подгруппа
- р-группа
- Записи
- Рекомендации
- Доказательства
- Алгоритмы
- Внешние ссылки
- Абстрактная алгебра/Теория групп/Теоремы Силова в викиучебниках