Оглавление
Теория стабильности
-
Определение устойчивости
- Устойчивость – это способность системы возвращаться к исходному состоянию после возмущения.
- Устойчивость может быть локальной или глобальной, в зависимости от области, в которой система остается устойчивой.
-
Типы устойчивости
- Асимптотическая устойчивость: система стремится к устойчивому состоянию с течением времени.
- Абсолютная устойчивость: система остается стабильной при любых начальных условиях.
- Устойчивость по первому приближению: система остается стабильной, если ее первое приближение устойчиво.
-
Типы систем
- Линейные системы: устойчивость определяется собственными значениями матрицы системы.
- Нелинейные системы: устойчивость может быть установлена с помощью теоремы Хартмана-Гробмана или функций Ляпунова.
-
Примеры устойчивости
- Спиральная мойка: устойчивость зависит от знака определителя матрицы системы.
- Вращение: устойчивость определяется значением определителя матрицы системы и ее следа.
- Устойчивость неподвижных точек: может быть проверена с помощью критериев устойчивости для линейных и нелинейных систем.
-
Карты устойчивости
- Критерий устойчивости для неподвижных точек: производная функции в точке должна быть меньше 1 или равна 1 для стабильности.
- Критерий устойчивости для отображений: собственные значения матрицы Якоби должны иметь абсолютное значение меньше 1 для стабильности.
-
Линейные автономные системы
- Устойчивость начала координат: определяется собственными значениями матрицы системы.
- Критерий Раута-Гурвица: используется для анализа многочленов Гурвица и определения устойчивости.
-
Нелинейные автономные системы
- Теорема Хартмана-Гробмана: используется для определения асимптотической устойчивости решений нелинейных систем.
- Функция Ляпунова: применяется для установления устойчивости общих динамических систем.
Полный текст статьи: