Теория стабильности

• Определение устойчивости

  • Устойчивость — это способность системы возвращаться к исходному состоянию после возмущения. 
  • Устойчивость может быть локальной или глобальной, в зависимости от области, в которой система остается устойчивой. 

• Типы устойчивости

  • Асимптотическая устойчивость: система стремится к устойчивому состоянию с течением времени. 
  • Абсолютная устойчивость: система остается стабильной при любых начальных условиях. 
  • Устойчивость по первому приближению: система остается стабильной, если ее первое приближение устойчиво. 

• Типы систем

  • Линейные системы: устойчивость определяется собственными значениями матрицы системы. 
  • Нелинейные системы: устойчивость может быть установлена с помощью теоремы Хартмана-Гробмана или функций Ляпунова. 

• Примеры устойчивости

  • Спиральная мойка: устойчивость зависит от знака определителя матрицы системы. 
  • Вращение: устойчивость определяется значением определителя матрицы системы и ее следа. 
  • Устойчивость неподвижных точек: может быть проверена с помощью критериев устойчивости для линейных и нелинейных систем. 

• Карты устойчивости

  • Критерий устойчивости для неподвижных точек: производная функции в точке должна быть меньше 1 или равна 1 для стабильности. 
  • Критерий устойчивости для отображений: собственные значения матрицы Якоби должны иметь абсолютное значение меньше 1 для стабильности. 

• Линейные автономные системы

  • Устойчивость начала координат: определяется собственными значениями матрицы системы. 
  • Критерий Раута-Гурвица: используется для анализа многочленов Гурвица и определения устойчивости. 

• Нелинейные автономные системы

  • Теорема Хартмана-Гробмана: используется для определения асимптотической устойчивости решений нелинейных систем. 
  • Функция Ляпунова: применяется для установления устойчивости общих динамических систем.