Оглавление
- 1 Theta function
- 1.1 Определение и свойства тета-функций
- 1.2 Квазипериодичность и интерпретация
- 1.3 Якоби тета-функции
- 1.4 Вспомогательные функции и нуль-функции
- 1.5 Якоби-идентичности и преобразования
- 1.6 Продуктовые и интегральные представления
- 1.7 Интересные соотношения и примеры
- 1.8 Исторический контекст
- 1.9 Основные значения и формулы
- 1.10 Преобразования и теоремы
- 1.11 Примеры вычислений
- 1.12 Ряд тождеств
- 1.13 Нули и отношения
- 1.14 Производные и интегралы
- 1.15 Решение уравнения теплопроводности
- 1.16 Инвариантность и обобщения
- 1.17 Дополнительные сведения
- 1.18 Применение тета-функции Римана
- 1.19 Функциональное уравнение тета-функции
- 1.20 Серия Пуанкаре
- 1.21 Вывод тета-значений
- 1.22 Сочетание интегральных тождеств с номом
- 1.23 Последовательности разбиения и продукты Pochhammer
- 1.24 Отношения последовательностей номеров разделов
- 1.25 Рекомендации и дальнейшее чтение
- 1.26 Полный текст статьи:
- 2 Тета-функция – Arc.Ask3.Ru
Theta function
-
Определение и свойства тета-функций
- Тета-функции — специальные функции нескольких комплексных переменных.
- Они встречаются в теории эллиптических функций, модулярных пространствах, квадратичных формах и солитонах.
- Параметризуются точками в верхней полуплоскости Сигеля.
- Наиболее распространенная форма — в теории эллиптических функций.
-
Квазипериодичность и интерпретация
- Тета-функции квазипериодичны по отношению к периоду эллиптических функций.
- В абстрактной теории квазипериодичность связана с классом линейного расслоения на комплексном торе.
- В теории теплообмена тета-функции описывают эволюцию температуры на сегменте с определенными граничными условиями.
-
Якоби тета-функции
- Существует несколько тесно связанных функций, называемых тета-функциями Якоби.
- Одна из них определяется для двух комплексных переменных z и τ.
- Функция является абсолютно сходящимся рядом и 1-периодична по z.
- Она также τ-квазипериодична по z, что делает её самой общей функцией с двумя квазипериодами.
-
Вспомогательные функции и нуль-функции
- Якоби тета-функции иногда рассматриваются вместе с тремя вспомогательными функциями.
- Вспомогательные функции определяются через nome q = eπiτ.
- Нуль-функции определяются через z = 0 и называются тета-нуль-функциями.
-
Якоби-идентичности и преобразования
- Якоби-идентичности описывают преобразования тета-функций под действием модулярной группы.
- Функции могут быть выражены через аргументы w и q, что позволяет использовать их в других полях.
-
Продуктовые и интегральные представления
- Тета-функции имеют продуктовые и интегральные представления.
- Интегральные представления включают тета-нуль-функции и примеры.
-
Интересные соотношения и примеры
- При определенных условиях тета-функции имеют интересные арифметические и модулярные свойства.
- Примеры включают модулярные формы и лемнискатические значения.
-
Исторический контекст
- Большинство результатов связано с работами Рамануджана.
-
Основные значения и формулы
- Значения θ00 и ϕ могут быть представлены через гиперболический лемнискатический синус.
- Модулярные тождества: s(q) = s(eπiτ) = −R(-e−πi/(5τ)).
- Значения θ-функции могут быть выражены через гамма-функцию.
-
Преобразования и теоремы
- Преобразования номе в θ-функции: формулы для квадрата и куба номе.
- Преобразования для θ-функции от корня номе: формулы для θ-функции от корня номе.
- Модулярные теоремы: формулы для квадрата и куба эллиптического номе.
-
Примеры вычислений
- Примеры вычислений с использованием θ-функции и номе.
- Примеры вычислений с использованием θ-функции и эллиптического номе.
-
Ряд тождеств
- Тождества с θ-функцией в результате: бесконечная сумма обратных чисел Фибоначчи.
- Тождества с θ-функцией в слагаемом: бесконечные суммы обратных чисел Фибоначчи и Пелля.
-
Нули и отношения
- Нули θ-функции Якоби: простые нули, заданные целыми числами m и n.
- Связь с ζ-функцией Римана: функциональное уравнение для ζ-функции.
- Связь с эллиптическими функциями Вейерштрасса: использование θ-функции для построения эллиптических функций.
- Связь с q-гамма-функцией: θ-функция связана с q-гамма-функцией.
- Связь с eta-функцией Дирихле: η(τ) связана с θ-функцией через nome q.
-
Производные и интегралы
- Производные θ-функций: формулы для производных θ-функций.
- Интегралы θ-функций: формулы для интегралов θ-функций.
-
Решение уравнения теплопроводности
- θ-функция Якоби как фундаментальное решение уравнения теплопроводности.
- Решение уравнения теплопроводности через θ-функцию.
-
Инвариантность и обобщения
- Инвариантность θ-функции под действием дискретной подгруппы группы Гейзенберга.
- Обобщения: θ-функция для квадратичных форм и модулярные формы.
-
Дополнительные сведения
- Тета-функция для симметричных матриц: определение и свойства.
- Тета-функция для n-мерных комплексных векторов: определение и свойства.
-
Применение тета-функции Римана
- Позволяет давать явные формулы для мероморфных функций на компактных римановых поверхностях
- Используется для вспомогательных объектов в теории функций
-
Функциональное уравнение тета-функции
- Выполняется для всех векторов a, b ∈ Zn и для всех z ∈ Cn и τ ∈ Hn
-
Серия Пуанкаре
- Обобщает тета-ряд на автоморфные формы относительно произвольных фуксовых групп
-
Вывод тета-значений
- Примеры значений тета-функции для n = 2, 4, 6
- Вывод сингулярных значений эллиптического интеграла
-
Сочетание интегральных тождеств с номом
- Эллиптическая функция nome имеет важные значения
- Доказательство правильности значений nome
-
Последовательности разбиения и продукты Pochhammer
- Обычная последовательность номеров разделов P(n)
- Строгая последовательность номеров разделов Q(n)
- Последовательность номеров избыточных долей P¯(n)
-
Отношения последовательностей номеров разделов
- Последовательности P(n), Q(n), P¯(n) в OEIS
- Последовательность P¯(n) может быть записана через P(n) и Q(n)
-
Рекомендации и дальнейшее чтение
- Гарри Раух и Хершел М. Фаркас: Тета-функции в приложениях к Римановым поверхностям
- Шарль Эрмит: “О разрешении проблемы, связанной с проведением ежегодных встреч”