Оглавление [Скрыть]
Топология Зариски
-
Топология Зарисского
- Топология, определенная на алгебраических многообразиях и множестве простых идеалов коммутативного кольца.
- Не хаусдорфова топология, замкнутые множества — алгебраические подмножества.
- Позволяет использовать топологические инструменты для изучения алгебраических многообразий.
-
Аффинные многообразия
- Замкнутые множества — множества вида V(S), где S — набор многочленов.
- Топология определяется через дополнения V(S), называемые основными открытыми множествами.
- Элементы аффинного координатного кольца действуют как функции на многообразии.
-
Проективные многообразия
- Замкнутые множества определяются аналогично аффинным, но с использованием однородных многочленов.
- Элементы проективного координатного кольца также действуют как функции на многообразии.
-
Свойства топологий Зарисского
- База состоит из простых элементов, называемых выделенными открытыми множествами.
- Аффинные и проективные многообразия с топологией Зарисского являются нетеровыми пространствами.
- Точки замкнуты, каждое многообразие удовлетворяет аксиоме T1.
- Регулярные отображения многообразий непрерывны в топологии Зарисского.
-
Спектр кольца
- Спектр коммутативного кольца — множество простых идеалов с топологией Зарисского.
- Замкнутые множества — множества, содержащие фиксированный идеал.
- Элементы кольца можно рассматривать как функции от простых идеалов.
-
Поле вычетов и отражение элементов
- Любой простой идеал P имеет соответствующее поле вычетов, которое является полем дробей частного A / P.
- Элементы, находящиеся в P, имеют отражение в поле вычетов, исчезающее в точке P.
-
Карта и функции
- Карта, связанная с элементом a, присваивает каждой точке её отражение в поле вычетов.
- Функции, связанные с идеалом I, равны нулю на множестве V(I).
-
Спектры и проективные многообразия
- Спектры заменяют аффинные многообразия, а проективные многообразия заменяют проективные многообразия.
- Переход от аффинного к проективному определению требует замены “идеал” на “однородный идеал”.
-
Примеры спецификаций
- Спектр поля k имеет один элемент.
- Спектр целых чисел имеет замкнутые точки для каждого простого числа и одну общую точку.
- Спектр кольца многочленов над алгебраически замкнутым полем состоит из замкнутых точек для каждого элемента и общей точки.
- Спектр кольца многочленов над неалгебраически замкнутым полем состоит из замкнутых точек для каждого монического неприводимого многочлена и общей точки.
-
Дополнительные свойства
- Точки в спектрах могут быть не обязательно замкнутыми, введены общие точки.
- Спектры и проективные спектры являются пространствами T0.
- Гротендик ввел понятие правильности схемы для восстановления интуитивной идеи компактности.