Оглавление
- 1 Трассировка (линейная алгебра)
- 1.1 Определение следа матрицы
- 1.2 Основные свойства следа
- 1.3 След произведения матриц
- 1.4 Инвариантность следа
- 1.5 Циклическое свойство
- 1.6 След произведения Кронекера
- 1.7 Характеристика следа
- 1.8 След как сумма собственных значений
- 1.9 След коммутатора
- 1.10 След эрмитовой матрицы
- 1.11 Трассировка проекционной матрицы
- 1.12 Связь с характеристическим многочленом
- 1.13 Производные отношения
- 1.14 След линейного оператора
- 1.15 Численные алгоритмы
- 1.16 Приложения
- 1.17 Алгебра Ли
- 1.18 Билинейные формы
- 1.19 Форма Киллинга и трассировка
- 1.20 Трассировочно-ортогональные матрицы
- 1.21 Обобщение на представления алгебр Ли
- 1.22 Обобщения на гильбертовы пространства
- 1.23 Частичная трассировка
- 1.24 Супердорожка и тензорное сжатие
- 1.25 Оператор трассировки матрицы
- 1.26 Следы на языке тензорных произведений
- 1.27 Категориальные трассы
- 1.28 Полный текст статьи:
- 2 Трассировка (линейная алгебра) – Arc.Ask3.Ru
Трассировка (линейная алгебра)
-
Определение следа матрицы
- След матрицы A определяется как сумма элементов на главной диагонали: tr(A) = a11 + a22 + … + ann.
- След определен только для квадратных матриц.
- След связан с производной определителя.
-
Основные свойства следа
- След является линейным отображением: tr(A + B) = tr(A) + tr(B), tr(cA) = ctr(A).
- Транспонирование матрицы не влияет на след: tr(A) = tr(AT).
-
След произведения матриц
- След произведения матриц A и B равен сумме произведений их элементов: tr(A⊤B) = tr(AB) = tr(BA) = tr(B⊤A).
- Внутреннее произведение Фробениуса: tr(A⊤B) = tr(B⊤A) = tr(A⊤A) = tr(A2)tr(B2).
- Норма Фробениуса удовлетворяет субмультипликативному свойству.
-
Инвариантность следа
- След инвариантен относительно подобия: tr(A) = tr(P-1AP) для любой обратимой матрицы P.
- След внешнего произведения векторов эквивалентен следу внутреннего произведения.
-
Циклическое свойство
- След инвариантен относительно круговых сдвигов: tr(ABCD) = tr(BCA) = tr(CDA) = tr(DA).
- Произвольные перестановки не допускаются, кроме случаев симметричных матриц.
-
След произведения Кронекера
- След произведения Кронекера равен произведению следов матриц: tr(A⊗B) = tr(A)tr(B).
-
Характеристика следа
- След пропорционален линейному функционалу f, удовлетворяющему f(xy) = f(yx).
- Для n×n матриц нормализация f(I) = n делает f равным следу.
-
След как сумма собственных значений
- След матрицы равен сумме ее собственных значений: tr(A) = ∑i=1n λi.
- Это справедливо даже для вещественных матриц с комплексными собственными значениями.
-
След коммутатора
- След коммутатора матриц A и B равен нулю: tr([A, B]) = 0.
- Любая квадратная матрица с нулевым следом унитарно эквивалентна матрице с диагональю из нулей.
-
След эрмитовой матрицы
- След эрмитовой матрицы реален, так как элементы на диагонали реальны.
- След матрицы перестановок равен числу фиксированных точек соответствующей перестановки.
-
Трассировка проекционной матрицы
- Трассировка проекционной матрицы равна размеру целевого пространства.
- Матрица PX является идемпотентной, и след любой идемпотентной матрицы равен её собственному рангу.
-
Связь с характеристическим многочленом
- След матрицы A является коэффициентом tn-1 в характеристическом многочлене.
- Определитель A является произведением его собственных значений.
-
Производные отношения
- След является производной от определяющей функции в единичной матрице.
- Формула Якоби связывает след и адъюгат матрицы.
-
След линейного оператора
- След линейного отображения можно определить через след матричного представления.
- След линейного оператора коммутирует с производной.
-
Численные алгоритмы
- След можно непредвзято оценить с помощью “трюка Хатчинсона”.
- Существуют более сложные стохастические методы оценки трассировки.
-
Приложения
- След вещественной матрицы 2 x 2 используется для классификации преобразований Мебиуса.
- Трассировка используется для определения символов групповых представлений.
-
Алгебра Ли
- Трассировка представляет собой отображение алгебр Ли.
- Ядро этой карты, матрицы без следа, образуют простую алгебру Ли.
-
Билинейные формы
- Билинейная форма B(X, Y) = tr(ad(X) ad(Y)) где ad(X)Y = [X, Y] = XY – YX.
-
Форма Киллинга и трассировка
- Форма Киллинга используется для классификации алгебр Ли
- Трассировка определяет билинейную форму, симметричную, невырожденную и ассоциативную
- Для сложной простой алгебры Ли каждая билинейная форма пропорциональна форме Киллинга
-
Трассировочно-ортогональные матрицы
- Две матрицы X и Y называются трассировочно-ортогональными, если tr(XY) = 0
-
Обобщение на представления алгебр Ли
- Форма трассировки на End(V) определяется как trV(ρ(X)ρ(Y))
- Билинейная форма ϕ(X, Y) = trV(ρ(X)ρ(Y)) симметрична и инвариантна
-
Обобщения на гильбертовы пространства
- Понятие следа матрицы обобщается на класс следов компактных операторов
- Норма Гильберта–Шмидта аналогична норме Фробениуса
-
Частичная трассировка
- Частичная трассировка определяется с помощью оператора
- След линейного оператора Z равен частичным следам над A и B
-
Супердорожка и тензорное сжатие
- Супердорожка обобщает трассировку на набор супералгебр
- Операция тензорного сжатия обобщает трассировку на произвольные тензоры
-
Оператор трассировки матрицы
- Оператор trm работает с блочными матрицами и используется для вычисления решений по возмущениям второго порядка
-
Следы на языке тензорных произведений
- Существует естественное билинейное отображение V × V∗ → F
- Универсальное свойство тензорного произведения подразумевает, что это отображение индуцируется линейным функционалом
- Линейное отображение V ∈ V∗ → Hom(V, V) является линейным изоморфизмом
- Объединение обратного изоморфизма с линейным функционалом приводит к линейному функционалу на Hom(V, V), совпадающему с трассировкой
- Доказательство матричной формулы tr(AB) = tr(BA) можно записать в виде тензорных произведений
-
Категориальные трассы
- Для конечномерного векторного пространства V существует естественное линейное отображение F → V ∈ V’
- Трассировка V ⊗ V’ → F называется оценочной картой
- Эти структуры могут быть аксиоматизированы для определения категориальных трасс