Унитарное представительство
-
Унитарные представления групп
- Линейное представление группы G в комплексном гильбертовом пространстве V
- π(g) является унитарным оператором для каждого g ∈ G
- Теория хорошо развита для локально компактных топологических групп
-
История и применение
- Теория широко применялась в квантовой механике с 1920-х годов
- Джордж Макки построил общую теорию унитарных представлений для любой группы G
-
Контекст в гармоническом анализе
- Теория унитарных представлений связана с гармоническим анализом
- В случае абелевой группы G используется двойственность Понтрягина
- Для компактных групп используется теорема Питера–Вейля
-
Формальные определения
- Строго непрерывное унитарное представление G в гильбертовом пространстве H
- Векторы ξ в H называются гладкими или аналитическими в зависимости от гладкости или аналитичности отображения g → π(g) ξ
- Гладкие и аналитические векторы образуют плотные подпространства и общие ядра для неограниченных кососопряженных операторов
-
Унитарная эквивалентность
- Два унитарных представления π1 и π2 называются унитарно эквивалентными, если существует унитарное преобразование A, такое что π1(g) = A* ∘ π2(g) ∘ A для всех g ∈ G
-
Полная восстанавливаемость
- Унитарное представление полностью приводимо
- Конечномерные унитарные представления являются прямой суммой неприводимых представлений
-
Унитаризуемость и унитарный двойной вопрос
- Для некомпактных групп важно, какие представления являются унитаризуемыми
- Описание унитарной двойственности и классификация неприводимых унитарных представлений вещественных редуктивных групп Ли остаются нерешенными задачами
-
Примеры и рекомендации
- Примеры решения для редуктивных групп Ли: теория представлений SL2(R) и группы Лоренца
- Рекомендации по цитированию и оформлению записей