Оглавление
Вариационное исчисление
-
Основы вариационного исчисления
- Вариационное исчисление – это метод нахождения экстремумов функций, основанный на принципе наименьшего действия.
- Лагранжиан – это функция, которая описывает действие системы и включает в себя кинетическую и потенциальную энергии.
- Уравнения Эйлера-Лагранжа описывают условия стационарности действия и являются основой вариационного исчисления.
-
Примеры и теоремы
- Задача о брахистохроне – это пример вариационной задачи, где требуется найти кратчайший путь между двумя точками.
- Теорема Эйлера утверждает, что если функция удовлетворяет условиям вариационного исчисления, то она является стационарной.
- Теорема Лагранжа утверждает, что если функция удовлетворяет условиям вариационного исчисления и имеет непрерывные частные производные, то она является стационарной.
-
Феномен Лаврентьева и его последствия
- Феномен Лаврентьева описывает ситуацию, когда оптимальное решение не существует, но существует решение, близкое к оптимальному.
- Этот феномен проявляется в различных вариационных задачах, включая задачи минимизации и задачи на собственные значения.
-
Приложения вариационного исчисления
- Вариационное исчисление используется в оптике для описания распространения света и формулировки закона Снелла.
- В механике оно применяется для вывода уравнений движения и определения сопряженных импульсов.
- Вариационное исчисление также используется в других областях, таких как вывод формы контактной сети.
- Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.
Полный текст статьи: