Оглавление
- 1 Выпуклая кривая
- 1.1 Определение выпуклых кривых
- 1.2 Подклассы выпуклых кривых
- 1.3 Длина и площадь
- 1.4 Опорные линии и вспомогательная функция
- 1.5 Границы выпуклых множеств
- 1.6 Пересечение с линиями
- 1.7 Строгая выпуклость
- 1.8 Симметрия
- 1.9 Свойства
- 1.10 Выпуклая кривая и её особенности
- 1.11 Кривизна и её характеристики
- 1.12 Негладкие выпуклые кривые
- 1.13 Вписанные многоугольники
- 1.14 Полный текст статьи:
- 2 Выпуклая кривая
Выпуклая кривая
-
Определение выпуклых кривых
- Выпуклая кривая — это плоская кривая, через каждую точку которой проходит опорная линия.
- Примеры: выпуклые многоугольники, границы выпуклых множеств, графики выпуклых функций.
-
Подклассы выпуклых кривых
- Замкнутые выпуклые кривые: границы ограниченных выпуклых множеств.
- Гладкие кривые: выпуклые, если кривизна имеет постоянный знак.
- Строго выпуклые кривые: каждая опорная линия проходит через уникальную точку кривой.
-
Длина и площадь
- Ограниченные выпуклые кривые имеют четко определенную длину.
- Площадь выпуклой оболочки можно аппроксимировать последовательностью вписанных многоугольников.
-
Опорные линии и вспомогательная функция
- Опорная линия — линия, содержащая по крайней мере одну точку кривой.
- Гладкая кривая является выпуклой, если лежит по одну сторону от каждой касательной.
-
Границы выпуклых множеств
- Выпуклая кривая может быть определена как связное подмножество границы выпуклого множества.
- Замкнутая выпуклая кривая — простая замкнутая кривая, объединение которой с внутренней частью является выпуклым множеством.
-
Пересечение с линиями
- Каждая прямая пересекает выпуклую кривую одним из четырех способов: пустое множество, одна точка, пара точек или интервал.
- Замкнутая кривая пересекается в одной точке или интервале, если линия является опорной.
-
Строгая выпуклость
- Строго выпуклые кривые не содержат отрезков.
- Замкнутые строго выпуклые кривые локально эквивалентны графикам строго выпуклых функций.
-
Симметрия
- Гладкие замкнутые выпуклые кривые с осью симметрии называются овалами.
- В евклидовой геометрии овалы — гладкие строго выпуклые замкнутые кривые без симметрии.
-
Свойства
- Длина и площадь выпуклых кривых могут быть аппроксимированы многоугольниками.
- Строго выпуклая кривая не может проходить через множество точек целочисленной решетки.
-
Выпуклая кривая и её особенности
- Выпуклая кривая может иметь не более чем счетный набор особых точек.
- Все остальные точки должны быть неособыми, с единственной опорной линией, являющейся касательной.
- Неособые точки образуют плотное множество на кривой.
- Замкнутая строго выпуклая кривая имеет непрерывную опорную функцию.
- Выпуклая кривая не может иметь трех параллельных касательных линий.
-
Кривизна и её характеристики
- Каждая гладкая замкнутая кривая имеет по крайней мере четыре вершины.
- Кривизна может использоваться для характеристики гладких замкнутых кривых.
- Гладкая простая замкнутая кривая с регулярной параметризацией является выпуклой тогда и только тогда, когда её кривизна имеет постоянный знак.
- Общая абсолютная кривизна гладкой выпуклой кривой не превышает 2π.
- Для замкнутых кривых, не являющихся выпуклыми, общая абсолютная кривизна всегда больше 2π.
-
Негладкие выпуклые кривые
- Негладкая выпуклая кривая имеет вторую производную почти везде.
- Набор точек со второй производной может быть небольшим.
-
Вписанные многоугольники
- Граница любого выпуклого многоугольника образует выпуклую кривую.
- Многоугольник, вписанный в строго выпуклую кривую, должен быть выпуклым.
- Задача о вписанном квадрате решена для выпуклых кривых.
- Масштабированная и повернутая копия любого прямоугольника или трапеции может быть вписана в любую замкнутую выпуклую кривую.
- Правильные многоугольники с более чем четырьмя сторонами не могут быть вписаны во все замкнутые выпуклые кривые.