Выводы из преобразований Лоренца

• Определение и свойства билинейной формы

  • Билинейная форма — это функция, которая принимает два вектора и возвращает скаляр. 
  • Она должна быть симметричной и линейной относительно сложения векторов. 

• Примеры билинейных форм

  • Скалярное произведение векторов является примером билинейной формы. 
  • В линейной алгебре билинейная форма используется для определения скалярного произведения векторов. 

• Теорема о билинейной форме

  • Если две билинейные формы имеют одинаковый нулевой набор, то они пропорциональны. 
  • В случае лоренцевой сигнатуры в 4-х измерениях, теорема утверждает, что существует константа C, такая что g = Ch. 

• Доказательство теоремы

  • Векторное пространство V может быть разложено на подпространства V− и V+, где каждый вектор может быть записан как v+w для v∈V− и w∈V+. 
  • Билинейность позволяет выразить h(v+w, v+w) через h(v, v) и h(w, w). 
  • Если h(v, v) = h(v′, v′) и h(w, w) = h(w′, w′), то можно найти w такое, что h(v+w, v+w) = 0. 
  • Если g(u, u) = Ch(u, u) ≠ 0 и g(u′, u′) = C′h(u′, u′) ≠ 0, то можно предположить, что h(u, u) = h(u′, u′), что означает C = C′. 
  • Если g и h имеют разные типы подписей (n, p) и n ≠ p, то C > 0. 
  • Если C < 0, то g имеет n положительных и p отрицательных диагональных элементов, что означает, что это подпись (p, n) ≠ (n, p). 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.