Оглавление
Выводы из преобразований Лоренца
-
Определение и свойства билинейной формы
- Билинейная форма – это функция, которая принимает два вектора и возвращает скаляр.
- Она должна быть симметричной и линейной относительно сложения векторов.
-
Примеры билинейных форм
- Скалярное произведение векторов является примером билинейной формы.
- В линейной алгебре билинейная форма используется для определения скалярного произведения векторов.
-
Теорема о билинейной форме
- Если две билинейные формы имеют одинаковый нулевой набор, то они пропорциональны.
- В случае лоренцевой сигнатуры в 4-х измерениях, теорема утверждает, что существует константа C, такая что g = Ch.
-
Доказательство теоремы
- Векторное пространство V может быть разложено на подпространства V− и V+, где каждый вектор может быть записан как v+w для v∈V− и w∈V+.
- Билинейность позволяет выразить h(v+w, v+w) через h(v, v) и h(w, w).
- Если h(v, v) = h(v′, v′) и h(w, w) = h(w′, w′), то можно найти w такое, что h(v+w, v+w) = 0.
- Если g(u, u) = Ch(u, u) ≠ 0 и g(u′, u′) = C′h(u′, u′) ≠ 0, то можно предположить, что h(u, u) = h(u′, u′), что означает C = C′.
- Если g и h имеют разные типы подписей (n, p) и n ≠ p, то C > 0.
- Если C < 0, то g имеет n положительных и p отрицательных диагональных элементов, что означает, что это подпись (p, n) ≠ (n, p).
- Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.
Полный текст статьи: