Алгебраическая группа
-
Определение и свойства алгебраических групп
- Алгебраическая группа — это группа, которая является алгебраическим многообразием.
- Алгебраические группы имеют структуру, аналогичную структуре групп Ли.
- Они могут быть определены как фактор-группы многообразий по действию группы Ли.
-
Примеры алгебраических групп
- Аддитивные и мультипликативные группы являются примерами алгебраических групп.
- Специальные и общие линейные группы также являются алгебраическими группами.
- Аффинные алгебраические группы включают ортогональные и симплектические группы.
-
Классификация и структура
- Линейные алгебраические группы классифицируются по полупростым группам и их центрам.
- Абелевы многообразия являются связанными проективными алгебраическими группами.
- Структурная теорема утверждает, что каждая связная алгебраическая группа может быть продолжена до абелева многообразия.
-
Взаимосвязь с алгебраическими многообразиями
- Алгебраические группы содержат топологию Зариски, которая может быть негрупповой.
- Связность алгебраической группы означает, что она не состоит из двух несвязных подмножеств.
-
Алгебраические группы над локальными полями
- Группы над локальными полями имеют аналитическую топологию, делающую их топологическими группами.
- Примером является группа Ли над вещественными или комплексными числами.
-
Группы Кокстера и алгебраические группы
- Существуют аналогии между алгебраическими группами и группами Кокстера.
- Группы Кокстера рассматриваются как простые алгебраические группы над полем с одним элементом.