Алгебра Брауэра
-
Определение алгебры Брауэра
- Алгебра Брауэра введена Ричардом Брауэром в контексте теории представлений ортогональной группы.
- Играет ту же роль, что и симметричная группа для теории представлений общей линейной группы.
-
Структура алгебры Брауэра
- Алгебра Брауэра Bn(δ) является Z[δ]-алгеброй для целого положительного числа n.
- δ является неопределенным, но часто специализируется на измерении фундаментального представления ортогональной группы O(δ).
- Размерность алгебры Брауэра равна 2n.
-
Схематическое определение
- Основой для Bn(δ) являются все пары в наборе 2n элементов X1, …, Xn, Y1, …, Yn.
- Произведение двух базовых элементов A и B получается путем объединения конечных точек и удаления замкнутых петель.
-
Генераторы и отношения
- Bn(δ) также может быть определен как Z[δ]-алгебра с генераторами s1, …, sn-1, e1, …, en-1.
- Генераторы s1, …, sn-1 удовлетворяют соотношениям симметричной группы.
- Генераторы e1, …, en-1 удовлетворяют запутанным отношениям.
-
Основные свойства
- Алгебра Брауэра является подалгеброй алгебры разбиений.
- Bn(δ) полупроста, если δ ∈ C — {0, ±1, ±2, …, ±n}.
- Подалгебра, генерируемая s1, …, sn-1, является групповой алгеброй симметричной группы Sn.
- Подалгебра, генерируемая e1, …, en-1, является алгеброй Темперли-Либа TLn(δ).
- Алгебра Брауэра является клеточной алгеброй.
-
Представления
- Модули Brauer-Specht являются конечномерными модулями алгебры Брауэра.
- Если δ является таким, что Bn(δ) полупроста, они образуют полный набор простых модулей Bn(δ).
- Модули параметризуются с помощью разделов.
-
Двойственность Шура-Вейля
- Алгебра Брауэра связана с ортогональной группой O(V) через тензорную мощность V⊗n.
- Образ Bn(d) внутри End(V⊗n) является централизатором O(V) внутри End(V⊗n).
- Тензорная мощность V⊗n является одновременно O(V)- и Bn(d)-модулем.
-
Замкнутая алгебра Брауэра
- Замкнутая алгебра Брауэра Br,s(δ) является подалгеброй Br+s(δ).
- Схематически состоит из диаграмм с определенными типами пар элементов.
-
Замкнутая алгебра Брауэра
- Порождается генераторами {s_i} и {e_r}
- Подчиняется основным соотношениям Br+s(δ)
- Включает сами генераторы и два соотношения
-
Действие на пространство
- Для натурального числа δ, V — естественное представление GLδ(C)
- Замкнутая алгебра Брауэра Br,s(δ) действует на V⊗r ⊗ (V∗)⊗s
- Связано двойственностью Шура-Вейля с действием GLδ(C)