Алгебра Брауэра

Алгебра Брауэра Определение алгебры Брауэра Алгебра Брауэра введена Ричардом Брауэром в контексте теории представлений ортогональной группы.   Играет ту же роль, […]

Алгебра Брауэра

  • Определение алгебры Брауэра

    • Алгебра Брауэра введена Ричардом Брауэром в контексте теории представлений ортогональной группы.  
    • Играет ту же роль, что и симметричная группа для теории представлений общей линейной группы.  
  • Структура алгебры Брауэра

    • Алгебра Брауэра Bn(δ) является Z[δ]-алгеброй для целого положительного числа n.  
    • δ является неопределенным, но часто специализируется на измерении фундаментального представления ортогональной группы O(δ).  
    • Размерность алгебры Брауэра равна 2n.  
  • Схематическое определение

    • Основой для Bn(δ) являются все пары в наборе 2n элементов X1, …, Xn, Y1, …, Yn.  
    • Произведение двух базовых элементов A и B получается путем объединения конечных точек и удаления замкнутых петель.  
  • Генераторы и отношения

    • Bn(δ) также может быть определен как Z[δ]-алгебра с генераторами s1, …, sn-1, e1, …, en-1.  
    • Генераторы s1, …, sn-1 удовлетворяют соотношениям симметричной группы.  
    • Генераторы e1, …, en-1 удовлетворяют запутанным отношениям.  
  • Основные свойства

    • Алгебра Брауэра является подалгеброй алгебры разбиений.  
    • Bn(δ) полупроста, если δ ∈ C — {0, ±1, ±2, …, ±n}.  
    • Подалгебра, генерируемая s1, …, sn-1, является групповой алгеброй симметричной группы Sn.  
    • Подалгебра, генерируемая e1, …, en-1, является алгеброй Темперли-Либа TLn(δ).  
    • Алгебра Брауэра является клеточной алгеброй.  
  • Представления

    • Модули Brauer-Specht являются конечномерными модулями алгебры Брауэра.  
    • Если δ является таким, что Bn(δ) полупроста, они образуют полный набор простых модулей Bn(δ).  
    • Модули параметризуются с помощью разделов.  
  • Двойственность Шура-Вейля

    • Алгебра Брауэра связана с ортогональной группой O(V) через тензорную мощность V⊗n.  
    • Образ Bn(d) внутри End(V⊗n) является централизатором O(V) внутри End(V⊗n).  
    • Тензорная мощность V⊗n является одновременно O(V)- и Bn(d)-модулем.  
  • Замкнутая алгебра Брауэра

    • Замкнутая алгебра Брауэра Br,s(δ) является подалгеброй Br+s(δ).  
    • Схематически состоит из диаграмм с определенными типами пар элементов.  
  • Замкнутая алгебра Брауэра

    • Порождается генераторами {s_i} и {e_r}  
    • Подчиняется основным соотношениям Br+s(δ)  
    • Включает сами генераторы и два соотношения  
  • Действие на пространство

    • Для натурального числа δ, V — естественное представление GLδ(C)  
    • Замкнутая алгебра Брауэра Br,s(δ) действует на V⊗r ⊗ (V∗)⊗s  
    • Связано двойственностью Шура-Вейля с действием GLδ(C)  

Полный текст статьи:

Алгебра Брауэра

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх