Оглавление
- 1 Алгебра Клиффорда
- 1.1 Определение алгебры Клиффорда
- 1.2 Универсальное свойство и построение
- 1.3 Ортогональные базисы и измерение
- 1.4 Примеры алгебр Клиффорда
- 1.5 Классификация алгебр Клиффорда
- 1.6 Примеры алгебр Клиффорда
- 1.7 Комплексные числа
- 1.8 Построение кватернионов и двойственных кватернионов
- 1.9 Примеры в небольших размерах
- 1.10 Свойства
- 1.11 Линейное отображение между ⋀V и Cl(V, Q)
- 1.12 Фильтрация по Cl(V, Q)
- 1.13 Классификация алгебр Клиффорда
- 1.14 Антиавтоморфизмы
- 1.15 Скалярное произведение Клиффорда
- 1.16 Структура алгебр Клиффорда
- 1.17 Группа Липшица
- 1.18 Группа Липшица и ортогональная группа
- 1.19 Спинорная норма
- 1.20 Группы закручивания и закрепления
- 1.21 Спиноры и алгебры Клиффорда
- 1.22 Приложения
- 1.23 Алгебры Клиффорда в физике
- 1.24 Комплексификация и преобразования
- 1.25 История и применение
- 1.26 Обобщения и расширения
- 1.27 Полный текст статьи:
- 2 Алгебра Клиффорда – Arc.Ask3.Ru
Алгебра Клиффорда
-
Определение алгебры Клиффорда
- Алгебра Клиффорда — это унитальная ассоциативная алгебра, порожденная векторным пространством V с квадратичной формой Q.
- Алгебра Клиффорда удовлетворяет условию v^2 = Q(v)1 для всех v ∈ V.
- Алгебра Клиффорда имеет выделенное подпространство V, которое не может быть определено однозначно.
-
Универсальное свойство и построение
- Алгебра Клиффорда обладает универсальным свойством: для любой унитальной ассоциативной алгебры A и линейного отображения j: V → A, существует уникальный гомоморфизм f: B → A, такой что f ∈ i = j.
- Алгебра Клиффорда может быть построена как фактор-алгебра тензорной алгебры T(V) по двустороннему идеалу IQ, порожденному элементами вида v ⊗ v – Q(v)1.
-
Ортогональные базисы и измерение
- В характеристике, не равной 2, существуют ортогональные базисы для V, удовлетворяющие фундаментальному тождеству Клиффорда.
- Размерность алгебры Клиффорда равна 2^n, где n — размерность V.
-
Примеры алгебр Клиффорда
- Наиболее важные алгебры Клиффорда — это алгебры над вещественными и комплексными векторными пространствами с невырожденными квадратичными формами.
- Каждая из алгебр Clp,q(R) и Cln(C) изоморфна A или A ∈ A, где A — полное матричное кольцо с элементами из R, C или H.
-
Классификация алгебр Клиффорда
- Алгебры Клиффорда также называются геометрическими алгебрами.
- Каждая невырожденная квадратичная форма в конечномерном вещественном векторном пространстве эквивалентна стандартной диагональной форме.
- Алгебра Клиффорда на Rp,q обозначается Clp,q (R).
-
Примеры алгебр Клиффорда
- Cl0,0(R) изоморфна R.
- Cl0,1 (R) изоморфна C.
- Cl0,2 (R) изоморфна кватернионам H.
- Cl0,3 (R) изоморфна прямой сумме H.
-
Комплексные числа
- Каждая невырожденная квадратичная форма в комплексном векторном пространстве эквивалентна стандартной диагональной форме.
- Cln (C) обозначает алгебру Клиффорда на Cn стандартной квадратичной формой.
-
Построение кватернионов и двойственных кватернионов
- Кватернионы Гамильтона строятся как четная подалгебра Cl3,0 (R).
- Двойственные кватернионы строятся как четная подалгебра Cl(R4, d).
-
Примеры в небольших размерах
- Для dim V = 1, Cl (V, Q) изоморфна алгебре двойственных чисел над K.
- Для dim V = 2, Cl (V, Q) изоморфна алгебре кватернионов (a, b)K.
-
Свойства
- Алгебра Клиффорда Cl (V, Q) изоморфна внешней алгебре ⋀V, если K не имеет характеристики 2.
- Изоморфизм устанавливается через ортогональный базис или антисимметризацию.
-
Линейное отображение между ⋀V и Cl(V, Q)
- Прямая сумма отображений дает линейное отображение между ⋀V и Cl(V, Q).
- Это отображение является линейным изоморфизмом.
-
Фильтрация по Cl(V, Q)
- Фильтрация по Cl(V, Q) строится через тензорную алгебру T(V).
- Связанная градуированная алгебра GrFCl(V, Q) изоморфна внешней алгебре ⋀V.
-
Классификация алгебр Клиффорда
- Алгебры Клиффорда являются Z2-градуированными алгебрами.
- Автоморфизм α является главной инволюцией.
- Подпространство Cl[0] (V, Q) образует четную подалгебру.
- Подпространство Cl[1] (V, Q) называется нечетной частью.
-
Антиавтоморфизмы
- Существуют два антиавтоморфизма: транспонирование и клиффордово сопряжение.
- Все три операции являются инволюциями и зависят только от степени по модулю 4.
-
Скалярное произведение Клиффорда
- Квадратичная форма Q может быть расширена до Cl(V, Q).
- Связанная симметричная билинейная форма задается формулой ⟨x, y⟩ = ⟨xt y⟩0.
-
Структура алгебр Клиффорда
- Центральная простая алгебра над K является матричной алгеброй над алгеброй с делением с центром K.
- Алгебра Клиффорда U + V изоморфна тензорному произведению алгебр Клиффорда U и (-1)dim(U) / 2dV.
-
Группа Липшица
- Группа Липшица определяется как набор обратимых элементов x, стабилизирующих набор векторов при скрученном сопряжении.
-
Группа Липшица и ортогональная группа
- Группа Липшица содержит элементы, сохраняющие квадратичную форму.
- Гомоморфизм от группы Липшица к ортогональной группе.
- В характеристике 2 группа называется ортогональными пересечениями.
-
Спинорная норма
- Определяется как Q(x) = x^t x.
- Гомоморфизм от группы Липшица к группе K × ненулевых элементов.
- В конечномерном случае индуцирует отображение из ортогональной группы в K × / (K ×)2.
-
Группы закручивания и закрепления
- Контактная группа PinV (K) содержит элементы спинорной нормы 1.
- Спиновая группа SpinV (K) содержит элементы инварианта Диксона 0.
- Гомоморфизмы от PinV (K) и SpinV (K) к ортогональной и специальной ортогональной группам.
-
Спиноры и алгебры Клиффорда
- Алгебры Клиффорда имеют комплексные представления размерности 2n.
- Спиновые группы имеют сложные спинорные представления размерности 2n.
- Спиновые группы и контактные группы имеют сходные представления.
-
Приложения
- Дифференциальная геометрия: определение набора дифференциальных форм на гладком многообразии.
- Физика: связь со спиновым многообразием и спинорным пучком.
-
Алгебры Клиффорда в физике
- Алгебры Клиффорда используются в физике для описания пространства-времени.
- Базис алгебры Клиффорда порождается матрицами Дирака.
- Матрицы Дирака удовлетворяют соотношению γiγj+γjγi=2ηij.
-
Комплексификация и преобразования
- Комплексификация алгебры Клиффорда необходима для квантовой механики.
- Преобразования Лоренца предпочтительны для описания пространства-времени.
-
История и применение
- Матрицы Дирака были введены Полем Дираком для релятивистского волнового уравнения.
- Алгебры Клиффорда используются в квантовой теории поля и компьютерном зрении.
-
Обобщения и расширения
- Алгебры Клиффорда могут быть обобщены на модули над унитальными, ассоциативными, коммутативными кольцами.
- Алгебры Клиффорда могут быть обобщены на степени выше квадратичной.