Оглавление
- 1 Алгебраическая геометрия и аналитическая геометрия
- 1.1 Связь алгебраической и аналитической геометрии
- 1.2 Прототипическая теорема
- 1.3 Теорема Чоу
- 1.4 Принцип Лефшеца
- 1.5 Теорема об исчезновении Кодайры
- 1.6 История и важные результаты
- 1.7 ГАГА
- 1.8 Теорема о когерентных алгебраических пучках
- 1.9 Эквивалентность категорий
- 1.10 История и контекст
- 1.11 Полный текст статьи:
- 2 Алгебраическая геометрия и аналитическая геометрия
Алгебраическая геометрия и аналитическая геометрия
-
Связь алгебраической и аналитической геометрии
- Алгебраическая геометрия изучает алгебраические многообразия, аналитическая геометрия — комплексные многообразия и аналитические пространства.
- Алгебраические методы применяются к аналитическим пространствам, аналитические методы — к алгебраическим многообразиям.
-
Прототипическая теорема
- Для проективного комплексного алгебраического многообразия X существует компактное комплексное аналитическое пространство Xan.
- Для любого когерентного пучка F на X существует соответствующий пучок Fan на Xan.
- Категория когерентных пучков на X эквивалентна категории аналитических когерентных пучков на Xan.
-
Теорема Чоу
- Аналитическое подпространство комплексного проективного пространства, замкнутое в топологии Зарисского, является алгебраическим подмногообразием.
-
Принцип Лефшеца
- Истинные утверждения теории полей первого порядка о C верны для любого алгебраически замкнутого поля K с нулевой характеристикой.
-
Теорема об исчезновении Кодайры
- Аналитические функции от сферы Римана к самой себе являются либо рациональными функциями, либо тождественно бесконечными.
-
История и важные результаты
- Теорема существования Римана: компактная Риманова поверхность имеет мероморфные функции, что делает её алгебраической кривой.
- Принцип Лефшеца: топологические методы алгебраической геометрии применимы к алгебраически замкнутым полям с нулевой характеристикой.
- Теорема Чоу: аналитическое подпространство комплексного проективного пространства, замкнутое в сильной топологии, замкнуто и в топологии Зарисского.
-
ГАГА
- Жан-Пьер Серр доказал общие результаты, связывающие алгебраические многообразия, регулярные морфизмы и пучки с аналитическими пространствами, голоморфными отображениями и пучками.
- Официальное заявление Леди ГАГИ: для схемы конечного типа над C существует топологическое пространство Xan, которое является аналитическим пространством.
- Для каждого морфизма схем существует непрерывное отображение Xan → Yan, которое является аналитическим отображением.
- Для каждого пучка F на X существует аналитический пучок Fan на Xan, и переписка F → Fan определяет точный функтор.
- Теорема Серра о ГАГЕ: для когерентных пучков F и G на X существует изоморфизм (f∗F)an → f∗an Fan, где f — правильный морфизм.
-
Теорема о когерентных алгебраических пучках
- Если f: Fan → Gan является картой пучков OXa-модулей, то существует уникальная карта пучков O-модулей φ: F → G с f = φan.
- Если R является когерентным аналитическим пучком OXa-модулей над Xan, то существует когерентный алгебраический пучок F от O-модулей и изоморфизм Fan ≅ R.
-
Эквивалентность категорий
- Категория когерентных алгебраических пучков на комплексном проективном многообразии X эквивалентна категории когерентных аналитических пучков на соответствующем аналитическом пространстве Xan.
- Аналитическое пространство Xan получается путем переноса на X сложной структуры из Cn через координатные диаграммы.
-
История и контекст
- Теорема ГАГА была сформулирована в статье Серра, учитывая, что полный теоретико-схемный язык еще не был изобретен.
- Понятие плоскостности было введено Серром в 1956 году.
- Алгебраические и аналитические локальные кольца имеют одинаковое завершение, что делает их “плоской парой”.