Алгебраическая геометрия и аналитическая геометрия

Оглавление1 Алгебраическая геометрия и аналитическая геометрия1.1 Связь алгебраической и аналитической геометрии1.2 Прототипическая теорема1.3 Теорема Чоу1.4 Принцип Лефшеца1.5 Теорема об исчезновении […]

Алгебраическая геометрия и аналитическая геометрия

  • Связь алгебраической и аналитической геометрии

    • Алгебраическая геометрия изучает алгебраические многообразия, аналитическая геометрия — комплексные многообразия и аналитические пространства.  
    • Алгебраические методы применяются к аналитическим пространствам, аналитические методы — к алгебраическим многообразиям.  
  • Прототипическая теорема

    • Для проективного комплексного алгебраического многообразия X существует компактное комплексное аналитическое пространство Xan.  
    • Для любого когерентного пучка F на X существует соответствующий пучок Fan на Xan.  
    • Категория когерентных пучков на X эквивалентна категории аналитических когерентных пучков на Xan.  
  • Теорема Чоу

    • Аналитическое подпространство комплексного проективного пространства, замкнутое в топологии Зарисского, является алгебраическим подмногообразием.  
  • Принцип Лефшеца

    • Истинные утверждения теории полей первого порядка о C верны для любого алгебраически замкнутого поля K с нулевой характеристикой.  
  • Теорема об исчезновении Кодайры

    • Аналитические функции от сферы Римана к самой себе являются либо рациональными функциями, либо тождественно бесконечными.  
  • История и важные результаты

    • Теорема существования Римана: компактная Риманова поверхность имеет мероморфные функции, что делает её алгебраической кривой.  
    • Принцип Лефшеца: топологические методы алгебраической геометрии применимы к алгебраически замкнутым полям с нулевой характеристикой.  
    • Теорема Чоу: аналитическое подпространство комплексного проективного пространства, замкнутое в сильной топологии, замкнуто и в топологии Зарисского.  
  • ГАГА

    • Жан-Пьер Серр доказал общие результаты, связывающие алгебраические многообразия, регулярные морфизмы и пучки с аналитическими пространствами, голоморфными отображениями и пучками.  
    • Официальное заявление Леди ГАГИ: для схемы конечного типа над C существует топологическое пространство Xan, которое является аналитическим пространством.  
    • Для каждого морфизма схем существует непрерывное отображение Xan → Yan, которое является аналитическим отображением.  
    • Для каждого пучка F на X существует аналитический пучок Fan на Xan, и переписка F → Fan определяет точный функтор.  
    • Теорема Серра о ГАГЕ: для когерентных пучков F и G на X существует изоморфизм (f∗F)an → f∗an Fan, где f — правильный морфизм.  
  • Теорема о когерентных алгебраических пучках

    • Если f: Fan → Gan является картой пучков OXa-модулей, то существует уникальная карта пучков O-модулей φ: F → G с f = φan.  
    • Если R является когерентным аналитическим пучком OXa-модулей над Xan, то существует когерентный алгебраический пучок F от O-модулей и изоморфизм Fan ≅ R.  
  • Эквивалентность категорий

    • Категория когерентных алгебраических пучков на комплексном проективном многообразии X эквивалентна категории когерентных аналитических пучков на соответствующем аналитическом пространстве Xan.  
    • Аналитическое пространство Xan получается путем переноса на X сложной структуры из Cn через координатные диаграммы.  
  • История и контекст

    • Теорема ГАГА была сформулирована в статье Серра, учитывая, что полный теоретико-схемный язык еще не был изобретен.  
    • Понятие плоскостности было введено Серром в 1956 году.  
    • Алгебраические и аналитические локальные кольца имеют одинаковое завершение, что делает их “плоской парой”.  

Полный текст статьи:

Алгебраическая геометрия и аналитическая геометрия

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх