Алгебраическая кривая
-
Аффинные и проективные алгебраические кривые
- Аффинная алгебраическая кривая — нулевое множество многочлена от двух переменных.
- Проективная алгебраическая кривая — нулевое множество однородного многочлена от трех переменных.
- Аффинную кривую можно преобразовать в проективную путем гомогенизации.
- Проективную кривую можно ограничить аффинной кривой.
-
Неприводимые и приводимые кривые
- Неприводимая кривая — кривая, определяемая неприводимым многочленом.
- Приводимая кривая — кривая, состоящая из неприводимых кривых.
-
Алгебраические кривые как многообразия
- Алгебраическая кривая — алгебраическое многообразие размерности один.
- Бирациональная эквивалентность сводит изучение алгебраических кривых к изучению плоских кривых.
- Некоторые свойства кривых не поддаются бирациональной эквивалентности.
-
Алгебраические кривые в евклидовой геометрии
- Алгебраическая кривая на евклидовой плоскости — множество точек, удовлетворяющих полиномиальному уравнению.
- Кривая может быть разложена на гладкие монотонные дуги и узлы.
- Важно знать примечательные точки и их касательные для рисования кривой.
-
Плоские проективные кривые
- Проективная кривая — множество точек в проективной плоскости, удовлетворяющих однородному многочлену.
- Аффинная кривая может быть преобразована в проективную путем гомогенизации.
- Проективные кривые полезны для изучения аффинных кривых.
-
Примечательные точки плоской кривой
- Пересечение с линией: знание точек пересечения полезно для построения кривой.
- Касательная в точке: уравнение касательной зависит от производных многочлена.
- Особые точки: точки, где производные равны нулю, являются особыми точками.
-
Асимптоты алгебраических кривых
- Каждая бесконечная ветвь алгебраической кривой соответствует точке на бесконечности.
- Асимптота кривой является касательной к кривой в этой точке.
- Асимптотическое направление определяется нулем многочлена, определяющего кривую.
-
Особые точки алгебраических кривых
- Особые точки кривой определяются системой уравнений.
- В нулевой характеристике система эквивалентна системе с p∞′(x,y) вместо p(x,y).
- Число особых точек конечно до тех пор, пока многочлен не имеет квадратов.
-
Аналитическая структура алгебраических кривых
- Вблизи особой точки кривая представляет собой объединение конечного числа ветвей.
- Вблизи обычной точки кривая гладкая.
- Вблизи особой точки используются ряды Пюизе для описания ветвей.
-
Неплоские алгебраические кривые
- Алгебраическая кривая — это алгебраическая разновидность размерности один.
- Аффинная кривая в аффинном пространстве определяется n − 1 многочленами.
- Эти многочлены должны генерировать простой идеал размерности Крулля 1.
-
Представление неплоских кривых
- Неплоские кривые могут быть представлены через многочлены f, g0, g3, …, gn.
- Точки в аффинном пространстве удовлетворяют уравнениям и неравенствам, определяющим кривую.
- Кривая определяется системой образующих идеального многочлена h.
-
Бирациональная эквивалентность
- Каждая алгебраическая кривая может быть представлена через f.
- Проекция на две первые переменные может потребовать линейного изменения переменных.
- Представление позволяет легко вывести свойства кривой из свойств её плоской проекции.
-
Поля алгебраических функций
- Изучение алгебраических кривых сводится к изучению неприводимых кривых.
- Неприводимые кривые эквивалентны полям алгебраических функций с одной переменной.
- Поле алгебраической функции является расширением поля F, содержащим элемент x, трансцендентный над F.
-
Сложные кривые и реальные поверхности
- Сложная проективная алгебраическая кривая находится в n-мерном комплексном проективном пространстве.
- Алгебраическая кривая над C имеет топологическую размерность два и является поверхностью.
- Род кривой равен (d − 1) (d − 2) /2 − k, где k — число особенностей.
-
Компактные римановы поверхности
- Риманова поверхность — связное комплексное аналитическое многообразие.
- Существует тройная эквивалентность между категориями гладких неприводимых проективных алгебраических кривых, компактных римановых поверхностей и полей алгебраических функций.
-
Особенности кривых
- Точки на алгебраической кривой классифицируются как гладкие или сингулярные.
- Особые точки определяются рангом матрицы Якоби.
- Особые точки включают точки пересечения кривой с собой и различные типы точек пересечения.
- Кривая имеет не более конечного числа особых точек, и если их нет, то кривая гладкая.
-
Особые точки и дельта-инварианты
- Особая точка имеет дельта-инвариант δ, если она концентрирует δ обычных двойных точек.
- δ можно определить как длину интегрального замыкания локального кольца в точке P.
- Число Милнора μ для сингулярности связано с δ и r формулой Милнора–Юнга.
-
Род кривой
- Род кривой g определяется как сумма дельта-инвариантов всех особых точек.
- Формула рода: g = 1/2(d-1)(d-2) — ∑PδP.
-
Примеры кривых
- Рациональные кривые: параметризуются рациональными функциями и имеют рациональные параметризации.
- Рациональные плоские кривые: параметризуются однородными многочленами и имеют размерность 3d-1.
- Эллиптические кривые: определяются как кривые первого рода с рациональной точкой и имеют структуру абелевой группы.
- Кривые рода больше единицы: имеют конечное число рациональных точек и гиперболическую геометрическую структуру.
-
Проективные плоские кривые
- Плоские кривые в P2 степени k могут быть сконструированы как исчезающий локус общего сечения.
- Род кривой равен (k-1)(k-2)/2, который можно вычислить с помощью когомологий когерентных пучков.
- Пример: кривая x4+y4+z4 имеет род 3 и является плавной.
- Пример: кривая x(x2+y2+z2) пересекается не более чем в 2 точках и является объединением двух рациональных кривых.
-
Кривые в произведении проективных прямых
- Кривые в P1×P1 задаются исчезающим местоположением s ∈ Γ(P1×P1, O(a,b)) для a, b ≥ 2.
- Род кривой равен ab-a-b+1, который можно проверить с помощью когомологий когерентных пучков.
- Если a = 2, то кривые имеют род b-1, что позволяет построить кривую любого рода.
- Примеры кривых для a = 3 приведены в таблице.