Оглавление
Центральная простая алгебра
-
Определение центральной простой алгебры
- Центральная простая алгебра (CSA) над полем K — это конечномерная ассоциативная K-алгебра A, простая и с центром, равным K.
- Не каждая простая алгебра является CSA над своим центром.
-
Примеры и свойства
- Комплексные числа C образуют CSA над самими собой, но не над действительными числами R.
- Кватернионы H образуют 4-мерную CSA над R и являются единственным нетривиальным элементом группы вещественных чисел Брауэра.
- Две CSA A и B над F называются подобными, если их кольца деления изоморфны.
- Множество классов эквивалентности CSA над F образует группу Брауэра Br(F), которая всегда является группой кручения.
-
Теоремы и свойства
- Теорема Артина–Уэддерберна утверждает, что конечномерная простая алгебра изоморфна матричной алгебре M(n, S) для некоторого кольца деления S.
- Каждый автоморфизм CSA является внутренним автоморфизмом.
- Размерность CSA как векторного пространства над центром равна квадрату, а индекс Шура зависит только от класса Брауэра.
- Период или показатель степени CSA — это порядок её класса Брауэра как элемента группы Брауэра.
-
Поля расщепления и приведенные нормы
- Поле E называется полем расщепления для A над K, если A∈E изоморфно матричному кольцу над E.
- Каждое конечномерное CSA имеет поле расщепления, которое является отделимым расширением K степени, равной индексу A.
- Приведенная норма и приведенная трассировка определяются через поле расщепления.
-
Обобщение и применение
- CSA над полем K являются некоммутативным аналогом полей расширения над K.
- Это представляет интерес для некоммутативной теории чисел как обобщения числовых полей.