Оглавление
- 1 Дельта-функция Дирака
- 1.1 Определение и свойства дельта-функции Дирака
- 1.2 История и мотивация
- 1.3 Математическая строгость
- 1.4 Применение в физике и технике
- 1.5 Проблемы и ограничения
- 1.6 Определение дельта-функции
- 1.7 Мера Дирака
- 1.8 Вероятностная мера
- 1.9 Дистрибутив
- 1.10 Обобщения
- 1.11 Свойства
- 1.12 Основные свойства дельта-функции
- 1.13 Свойства в n измерениях
- 1.14 Преобразование Фурье
- 1.15 Применение в обработке сигналов
- 1.16 Преобразование Фурье и Лапласа дельта-функции
- 1.17 Производные дельта-функции
- 1.18 Дельта-распределение в многомерных пространствах
- 1.19 Представления дельта-функции
- 1.20 Приближения к тождеству
- 1.21 Вероятностные соображения
- 1.22 Свертка с распределением вероятностей
- 1.23 Приближение к тождеству
- 1.24 Полугруппы свертки
- 1.25 Тепловое ядро
- 1.26 Ядро Пуассона
- 1.27 Колебательные интегралы
- 1.28 Разложение по плоской волне
- 1.29 Интеграл и преобразование Радона
- 1.30 Разложение плоской волны
- 1.31 Ядра Фурье
- 1.32 Теория Гильбертова пространства
- 1.33 Пространства голоморфных функций
- 1.34 Разрешения проблемы идентичности
- 1.35 Бесконечно малые дельта-функции
- 1.36 Определение дельта-функции
- 1.37 Гребень Дирака
- 1.38 Теорема Сохоцкого–Племеля
- 1.39 Связь с дельтой Кронекера
- 1.40 Приложения в теории вероятностей
- 1.41 Приложения в квантовой механике
- 1.42 Использование дельта-функции в строительной механике
- 1.43 Уравнение статического отклонения тонкой балки
- 1.44 Точечные моменты и дельта-функции
- 1.45 Полный текст статьи:
- 2 Дельта-функция Дирака
Дельта-функция Дирака
-
Определение и свойства дельта-функции Дирака
- Дельта-функция Дирака (δ-распределение) — обобщенная функция, равная нулю везде, кроме нулевой точки, и интеграл которой по всей действительной прямой равен единице.
- Дельта-функция используется для моделирования точечных масс и мгновенных импульсов.
-
История и мотивация
- Дельта-функция была введена Полем Дираком в 1927 году.
- Джозеф Фурье и Огюстен Коши внесли значительный вклад в развитие теории, связанной с дельта-функцией.
- Дельта-функция используется для упрощения уравнений и моделирования мгновенных процессов.
-
Математическая строгость
- Дельта-функция не является обычной функцией, а требует применения теории измерений или теории распределений.
- Лоран Шварц разработал теорию распределений, где дельта-функция определяется как линейная форма.
-
Применение в физике и технике
- Дельта-функция используется в физике и технике для моделирования точечных масс, мгновенных импульсов и других абстракций.
- Пример: расчет динамики удара по бильярдному шару с помощью дельта-функции.
-
Проблемы и ограничения
- Дельта-функция не имеет строгого математического определения, что требует использования пределов и теории измерений.
- Проблемы с классической интерпретацией дельта-функции были решены с развитием теории распределений.
-
Определение дельта-функции
- Дельта-функция равна нулю везде, кроме начала координат, где она бесконечна.
- Интеграл от дельта-функции равен 1.
- Дельта-функция не является функцией в традиционном смысле.
-
Мера Дирака
- Мера Дирака принимает подмножество A действительной прямой R и возвращает δ(A) = 1, если 0 ∈ A, и δ(A) = 0 в противном случае.
- Интеграл Лебега по мере δ удовлетворяет ∫−∞∞f(x)δ(dx) = f(0) для всех непрерывных компактно поддерживаемых функций f.
- Мера δ не является абсолютно непрерывной по отношению к мере Лебега.
-
Вероятностная мера
- Дельта-мера характеризуется кумулятивной функцией распределения H(x) = 1 при x ≥ 0 и 0 при x < 0.
- Интегрирование дельта-функции по непрерывной функции может быть понято как интеграл Римана-Стилтьеса.
- Все высшие моменты δ равны нулю.
-
Дистрибутив
- Дельта-функция является линейным функционалом в пространстве тестовых функций.
- Дельта-распределение нулевого порядка с компактной поддержкой.
- Дельта-распределение может быть определено как производная от распределения ступенчатой функции Хевисайда.
-
Обобщения
- Дельта-функция может быть определена в n-мерном евклидовом пространстве как мера.
- Дельта-функция также может быть определена как распределение на любом множестве.
- Дельта-функция на многообразии M с центром в точке x0 определяется как распределение для всех компактно поддерживаемых гладких функций на M.
-
Свойства
- Дельта-функция удовлетворяет свойству масштабирования для ненулевого скаляра α.
- Дельта-функция представляет собой равномерное распределение (симметрию).
-
Основные свойства дельта-функции
- Дельта-функция равна нулю при x = 0.
- Дельта-функция удовлетворяет свойству отсеивания: интеграл от функции, умноженной на дельта-функцию, равен значению функции в заданной точке.
- Дельта-функция может быть составлена с помощью гладкой функции g: интеграл от функции, умноженной на дельта-функцию, равен интегралу от функции, умноженной на дельта-функцию, составленную с помощью g.
-
Свойства в n измерениях
- Дельта-функция в n-мерном пространстве удовлетворяет свойству масштабирования: δ(αx) = |α|^-nδ(x).
- Дельта-функция инвариантна при отражении или повороте.
- Дельта-функция может быть определена с помощью функции би-Липшица g: интеграл от функции, умноженной на дельта-функцию, равен интегралу от функции, умноженной на дельта-функцию, составленную с помощью g.
-
Преобразование Фурье
- Дельта-функция имеет четко определенное преобразование Фурье: δ^(ξ) = 1.
- Свертка дельта-функции с любым умеренным распределением равна самому распределению.
- Обратное преобразование Фурье для f(θ) = 1 является дельта-функцией.
-
Применение в обработке сигналов
- Дельта-функция используется для вычисления импульсной характеристики систем.
- Импульсная характеристика может быть вычислена с любой желаемой точностью путем выбора подходящего приближения для δ.
-
Преобразование Фурье и Лапласа дельта-функции
- Преобразование Фурье дельта-функции равно δ(ξ1 – ξ2).
- Преобразование Лапласа дельта-функции равно e-sa.
-
Производные дельта-функции
- Производная дельта-функции равна δ'(x) = limh→0 δ(x + h) – δ(x) / h.
- Первая производная дельта-функции удовлетворяет свойствам δ'(-x) = -δ'(x) и xδ'(x) = -δ(x).
- Свертка δ’ с функцией f равна δ’ * f = f’.
-
Дельта-распределение в многомерных пространствах
- Дельта-распределение с центром в точке a определяется как δa[φ] = φ(a).
- α-я производная δa задается как ∂αδa = (-1)^{|α|} ∂αφ(x) |x=a.
-
Представления дельта-функции
- Дельта-функцию можно рассматривать как предел последовательности функций ηε(x).
- ηε(x) слабо сходится к δ в смысле меры.
-
Приближения к тождеству
- ηε строится как ε-1 η(x/ε).
- ηε слабо сходится к δ в смысле меры, но не поточечно.
- Дополнительные условия для ηε необходимы для поточечной сходимости.
-
Вероятностные соображения
- В контексте теории вероятностей η1 должно быть положительным.
-
Свертка с распределением вероятностей
- Свертка с распределением вероятностей не приводит к превышению или занижению значений.
- Выходные данные находятся между максимумом и минимумом входной функции.
-
Приближение к тождеству
- Приближение к тождеству быстрее сходится к дельта-функции при η с нулевым средним и небольшими высшими моментами.
- Примеры: равномерное распределение на [−1/2, 1/2], полукруглое распределение Вигнера.
-
Полугруппы свертки
- Полугруппы свертки образуют зарождающуюся дельта-функцию.
- Полугруппы возникают как фундаментальные решения или функции Грина для эллиптических или параболических уравнений.
-
Тепловое ядро
- Тепловое ядро представляет температуру в бесконечном проводе.
- В теории вероятностей это нормальное распределение дисперсии ε и среднего значения 0.
-
Ядро Пуассона
- Ядро Пуассона является фундаментальным решением уравнения Лапласа.
- Представляет электростатический потенциал в полубесконечной пластине.
-
Колебательные интегралы
- Возникающие дельта-функции часто являются колебательными интегралами.
- Примеры: масштабируемая функция Эйри, функция sinc, функция Бесселя.
-
Разложение по плоской волне
- Дельта-функцию можно разложить на плоские волны для решения линейных дифференциальных уравнений.
- Методика предложена Иоганном Радоном и развита Фрицем Джоном.
-
Интеграл и преобразование Радона
- Интеграл в правой части равен cnΔx(n+1)/2∫Sn-1dωξ∫-∞∞|p|Rφ(ξ, p+x⋅ξ)dp.
- Rφ(ξ, p) – преобразование Радона для φ.
-
Разложение плоской волны
- δ(x) = (n-1)!/(2πi)n∫Sn-1(x⋅ξ)−n dωξ для четных n и 1/(2πi)n-1∫Sn-1δ(n-1)(x⋅ξ) dωξ для нечетных n.
-
Ядра Фурье
- n-я частичная сумма ряда Фурье функции f периода 2π определяется сверткой с ядром Дирихле.
- Ядро Дирихле стремится к кратности дельта-функции при N → ∞.
- Метод суммирования по Чезаро приводит к ядру Фейера, которое также стремится к дельта-функции.
-
Теория Гильбертова пространства
- Дельта-распределение Дирака – это плотно определенный неограниченный линейный функционал в L2.
- В пространствах Соболева дельта-функция является ограниченным линейным функционалом.
-
Пространства голоморфных функций
- Дельта-функция вводится с помощью интегральной формулы Коши.
- В комплексном анализе дельта-функция представлена интегралом Коши.
-
Разрешения проблемы идентичности
- Полный ортонормированный базисный набор функций {φn} позволяет выразить вектор f как f = ∑n=1∞αnφn.
- В L2(D) выражение для f может быть переписано как f(x) = ∑n=1∞∫D(φn(x)φn∗(ξ))f(ξ)dξ.
-
Бесконечно малые дельта-функции
- Коши использовал бесконечно малую величину α для записи единичного импульса δα.
-
Определение дельта-функции
- Коши определил бесконечно малую величину в 1827 году.
- Дельта-функция Дирака удовлетворяет интегралу ∫ F(x)δ(x)dx = F(0).
-
Гребень Дирака
- Равномерная последовательность импульсов дельта-измерений Дирака создает функцию дискретизации.
- Гребень Дирака задается как бесконечная сумма δ(x-n).
- Гребень Дирака равен своему собственному преобразованию Фурье.
-
Теорема Сохоцкого–Племеля
- Связывает дельта-функцию с распределением p.v. 1/x.
- Формула Сохоцкого утверждает, что limε→0+ 1/x±iε = p.v. 1/x∓iπδ(x).
-
Связь с дельтой Кронекера
- Дельта Кронекера удовлетворяет свойству просеивания.
- Дельта Дирака удовлетворяет свойству просеивания аналогично дельта Кронекера.
-
Приложения в теории вероятностей
- Используется для представления дискретного распределения.
- Используется для представления результирующей функции плотности вероятности.
- Используется для представления локального времени диффузионного процесса.
-
Приложения в квантовой механике
- Волновая функция частицы дает амплитуду вероятности обнаружения.
- Дельта-функция полезна для представления собственных функций гамильтониана.
- Обобщенные собственные функции оператора позиционирования задаются как δ(x-y).
- Дельта-функция также используется в моделях дельта-потенциала для одиночной и двойной потенциальной ямы.
-
Использование дельта-функции в строительной механике
- Дельта-функция используется для описания переходных нагрузок и точечных нагрузок.
- Основное уравнение системы масса-пружина с внезапным импульсом силы: m d2ξ/dt2 + kξ = Iδ(t).
-
Уравнение статического отклонения тонкой балки
- Уравнение Эйлера-Бернулли: EId4w/dx4 = q(x).
- Распределение нагрузки при точечной силе F: q(x) = Fδ(x-x0).
- Интегрирование дельта-функции приводит к ступенчатой функции Хевисайда.
-
Точечные моменты и дельта-функции
- Точечные моменты могут быть представлены производной дельта-функции.
- Интегрирование уравнения балки снова приводит к кусочно-полиномиальному отклонению.