Оглавление
- 1 Диадическая трансформация
- 1.1 Двоичное преобразование
- 1.2 Связь с процессом Бернулли
- 1.3 Потеря информации и чувствительность к начальным условиям
- 1.4 Связь с картой палаток и логистической картой
- 1.5 Периодичность и непериодичность
- 1.6 Периодичность с помощью сдвигов битов
- 1.7 Формула плотности
- 1.8 Якобианский определитель и прообраз
- 1.9 Линейный оператор L
- 1.10 Спектр L
- 1.11 Пространство Кантора
- 1.12 Оператор Фробениуса–Перрона
- 1.13 Спектр оператора L
- 1.14 Связь с моделью Изинга
- 1.15 Полный текст статьи:
- 2 Диадическая трансформация
Диадическая трансформация
-
Двоичное преобразование
- Отображение, определяемое как сдвиг битов в двоичной системе счисления
- Пример хаотической динамики
-
Связь с процессом Бернулли
- Отображение как гомоморфизм по процессу Бернулли
- Пространство Кантора как набор всех полубесконечных строк двоичных битов
-
Потеря информации и чувствительность к начальным условиям
- Потеря информации с экспоненциальной скоростью
- Чувствительность к начальным условиям
-
Связь с картой палаток и логистической картой
- Топологическая полусопряженность с картой палаток
- Полусопряженность с логистической картой r = 4
-
Периодичность и непериодичность
- Иррациональные начальные условия приводят к непериодической динамике
- Рациональные начальные условия могут приводить к периодической динамике
-
Периодичность с помощью сдвигов битов
- Периодические орбиты соответствуют рациональным числам
- Апериодические орбиты соответствуют иррациональным числам
-
Формула плотности
- Изучение влияния карты на плотность на единичном интервале
- Поиск точек, соответствующих плотности
-
Якобианский определитель и прообраз
- Якобианский определитель преобразования T равен 2.
- Прообраз T-1(x) равен y = x/2 и y = (x+1)/2.
-
Линейный оператор L
- L является линейным оператором, так как L(f+g) = L(f) + L(g) и L(af) = aL(f) для всех функций f и g на единичном интервале и всех констант a.
-
Спектр L
- Одно собственное значение очевидно: L(ρ) = ρ для всех ρ(x) = 1.
- Это собственное значение Фробениуса–Перрона.
-
Пространство Кантора
- Пространство Кантора Ω = {0,1}^N с топологией продукта.
- Карта T(b0, b1, b2, …) = (b1, b2, …) сохраняет меру Бернулли.
-
Оператор Фробениуса–Перрона
- Оператор переноса L на пространстве функций B → R.
- Наибольшее собственное значение равно 1, соответствующий собственный вектор — мера Бернулли.
-
Спектр оператора L
- Ограничение F на множество многочленов дает дискретный спектр с собственными функциями многочленами Бернулли.
- Базис Хаара дает непрерывный спектр с вейвлетами Хаара.
- Функция Takagi дает фрактальные собственные функции.
-
Связь с моделью Изинга
- Гамильтониан модели Изинга с нулевым полем связан с диадической картой.
- Перенормировочная группа модели Изинга может быть выражена через диадическую карту.