Оглавление
- 1 Дифференциальный оператор
- 1.1 Определение дифференциального оператора
- 1.2 Линейные дифференциальные операторы
- 1.3 Символы и главные символы
- 1.4 Дифференциальные операторы в локальных координатах
- 1.5 Интерпретация Фурье
- 1.6 Примеры и приложения
- 1.7 История и обозначения
- 1.8 Сопряженные операторы
- 1.9 Формально самосопряженные операторы
- 1.10 Дифференциальные операторы
- 1.11 Кольцо полиномиальных дифференциальных операторов
- 1.12 Многомерные полиномиальные дифференциальные операторы
- 1.13 Описание, не зависящее от координат
- 1.14 Отношение к коммутативной алгебре
- 1.15 Варианты
- 1.16 Связанные понятия
- 1.17 Полный текст статьи:
- 2 Дифференциальный оператор – Arc.Ask3.Ru
Дифференциальный оператор
-
Определение дифференциального оператора
- Дифференциальный оператор — это функция оператора дифференцирования.
- Линейные дифференциальные операторы наиболее распространены.
- Нелинейные дифференциальные операторы, такие как производная Шварца, также существуют.
-
Линейные дифференциальные операторы
- Линейный дифференциальный оператор P порядка m — это отображение из функционального пространства F1 в F2.
- P записывается как сумма произведений функций aα(x) на операторы Dα.
- Оператор Dα интерпретируется как ∂|α|/∂x1α1∂x2α2…∂xnαn.
-
Символы и главные символы
- Суммарный символ P — это многочлен p(x, ξ), где ξα = ξ1α1…ξnαn.
- Главный символ P — это наиболее однородный компонент символа.
- Главный символ определен по своей сути и является функцией от кокасательного расслоения.
-
Дифференциальные операторы в локальных координатах
- В локальных координатах на многообразии X, Pα(x) — это отображение расслоения.
- Коэффициенты K-го порядка P преобразуются в симметричный тензор.
- Символ P определяет однородный многочлен степени k в Tx∗X.
-
Интерпретация Фурье
- Дифференциальный оператор P связан с преобразованием Фурье.
- P является множителем Фурье для функций Шварца.
-
Примеры и приложения
- Эллиптические операторы имеют обратимый символ.
- В приложениях к физическим наукам операторы, такие как оператор Лапласа, важны.
- В дифференциальной топологии используются операторы внешней производной и производной Ли.
-
История и обозначения
- Концептуальный шаг к дифференциальным операторам приписывают Луи Франсуа Антуану Арбогасту.
- Обозначения для производных включают D и Dα.
- Оператор Лапласа и Θ-оператор — важные примеры дифференциальных операторов.
-
Сопряженные операторы
- Сопряженный оператор T∗ определяется как оператор, удовлетворяющий условию ⟨Tu, v⟩ = ⟨u, T∗v⟩.
- Формальное сопряжение в одной переменной определяется как T∗u = ∑k=0n(−1)kDk[a¯k(x)u].
-
Формально самосопряженные операторы
- Оператор, равный своему собственному сопряженному оператору
- Пример: оператор Штурма–Лиувилля
-
Дифференциальные операторы
- Линейные операторы, действующие на функции
- Примеры: оператор Штурма–Лиувилля, оператор разности
-
Кольцо полиномиальных дифференциальных операторов
- Некоммутативное кольцо многочленов над R
- Фактор-кольцо R⟨D, X⟩/I
- Поддерживает аналог евклидова деления многочленов
-
Многомерные полиномиальные дифференциальные операторы
- Некоммутативное кольцо многочленов над R в переменных D1, …, Dn, X1, …, Xn
- Фактор-кольцо R⟨D1, …, Dn, X1, …, Xn⟩/I
-
Описание, не зависящее от координат
- Линейные дифференциальные операторы между векторными расслоениями
- Теорема Пеэтра: любой локальный оператор является дифференциальным
-
Отношение к коммутативной алгебре
- Линейные дифференциальные операторы как частные отображения между модулями над коммутативной алгеброй
-
Варианты
- Дифференциальный оператор бесконечного порядка
- Двухдифференцированный оператор
- Оператор микродифференцирования
-
Связанные понятия
- Оператор разности
- Дельта-оператор
- Эллиптический оператор
- Curl (математика)
- Дробное исчисление
- Инвариантный дифференциальный оператор
- Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами
- Лагранжева система
- Спектральная теория
- Энергетический оператор
- Оператор импульса
- Псевдодифференцирующий оператор
- Фундаментальное решение
- Теорема об индексе Атии–Сингера
- Теорема Мальгранжа–Эренпрейса
- Гипоэллиптический оператор