Оглавление
- 1 Двойственность Понтрягина
- 1.1 Двойственность Понтрягина
- 1.2 Дуал Понтрягина
- 1.3 Теорема о двойственности Понтрягина
- 1.4 Мера Хаара
- 1.5 Преобразование Фурье
- 1.6 Формула обращения Фурье
- 1.7 Обратное преобразование Фурье
- 1.8 Классификация преобразований Фурье
- 1.9 Групповая алгебра
- 1.10 Теоремы Планшереля и L2-инверсии Фурье
- 1.11 Компактификация Бора и почти периодичность
- 1.12 Компактность и двойственность Понтрягина
- 1.13 Компактификация Бора
- 1.14 Категорические соображения
- 1.15 Обобщения двойственности Понтрягина
- 1.16 Двойственность для коммутативных топологических групп
- 1.17 Двойственность для топологических векторных пространств
- 1.18 Двойственности для некоммутативных топологических групп
- 1.19 Общая теория локально компактных групп
- 1.20 Недостатки общих теорий
- 1.21 Теории двойственности
- 1.22 Полный текст статьи:
- 2 Двойственность Понтрягина – Arc.Ask3.Ru
Двойственность Понтрягина
-
Двойственность Понтрягина
- Двойственность между локально компактными абелевыми группами
- Обобщение преобразования Фурье на все такие группы
- Включает круговую группу, конечные абелевы группы, аддитивную группу целых чисел, вещественные числа и конечномерные векторные пространства
-
Дуал Понтрягина
- Локально компактная абелева топологическая группа
- Образована непрерывными групповыми гомоморфизмами от группы к группе окружностей
- Топология равномерной сходимости на компактных множествах
-
Теорема о двойственности Понтрягина
- Любая локально компактная абелева группа изоморфна своей двойственности
- Канонический изоморфизм между группой и её двойственностью
-
Мера Хаара
- Уникальная мера на локально компактной группе
- Позволяет измерять “размер” регулярных подмножеств
- Определяет интеграл для борелевских функций
-
Преобразование Фурье
- Функция на двойственной группе, определяемая интегралом по мере Хаара
- Зависит от выбора меры Хаара
- Преобразование Фурье L1-функции ограничено и непрерывно
-
Формула обращения Фурье
- Для каждой меры Хаара на группе существует уникальная мера на двойственной группе
- Функция на группе может быть восстановлена из её преобразования Фурье
-
Обратное преобразование Фурье
- Обратное преобразование Фурье интегрируемой функции на G^ задается интегралом по двойной группе G^.
- Мера ν на G^ называется двойной мерой для μ.
-
Классификация преобразований Фурье
- Преобразования Фурье классифицируются по области применения и области преобразования.
- Пример: преобразование Фурье на R^n с мерой Лебега.
-
Групповая алгебра
- Пространство интегрируемых функций на локально компактной абелевой группе G является алгеброй свертки.
- Преобразование Фурье преобразует свертку в умножение.
-
Теоремы Планшереля и L2-инверсии Фурье
- Преобразование Фурье является L2-изометрией из L2-функций на G в L2-функции на G^.
- Существует унитарное расширение преобразования Фурье из L2-плотного подпространства.
-
Компактификация Бора и почти периодичность
- Локально компактная абелева группа G компактна тогда и только тогда, когда G^ дискретно.
- G дискретно тогда и только тогда, когда G^ компактно.
-
Компактность и двойственность Понтрягина
- Компактность является следствием определения компактно-открытой топологии на G^.
- Двойственность Понтрягина используется для доказательства обратного.
-
Компактификация Бора
- Определена для любой топологической группы G, независимо от её локально компактности или абелевости.
- Характеризует компактификацию Бора произвольной абелевой локально компактной топологической группы.
-
Категорические соображения
- Двойственность Понтрягина может быть рассмотрена функционально.
- Двойственная группа G^ является контравариантным функтором LCA → LCA.
- Двойственный функтор dual G → G^ является ковариантным.
- Естественное преобразование между функтором тождества и двойственным функтором является изоморфизмом.
-
Обобщения двойственности Понтрягина
- Для коммутативных топологических групп, не являющихся локально компактными, двойственность Понтрягина расширена.
- Для некоммутативных топологических групп классическая конструкция Понтрягина не работает.
-
Двойственность для коммутативных топологических групп
- Хаусдорфовы абелевы топологические группы удовлетворяют двойственности Понтрягина.
- Произведения и счетные обратные пределы локально компактных абелевых групп также удовлетворяют двойственности.
- Открытые подгруппы абелевых топологических групп, удовлетворяющих двойственности Понтрягина, также удовлетворяют двойственности.
-
Двойственность для топологических векторных пространств
- Банаховы пространства и рефлексивные пространства удовлетворяют двойственности Понтрягина.
- Квазиполные бочкообразные пространства также удовлетворяют двойственности.
- Пространства стереотипов удовлетворяют более сильному свойству, чем рефлексивность Понтрягина.
-
Двойственности для некоммутативных топологических групп
- Для некоммутативных локально компактных групп классическая конструкция Понтрягина не работает.
- Теории двойственности делятся на две группы: с дуальным объектом той же природы и с радикальным отличием.
- Теории второго типа включают дуальность Таннаки-Крейна и теорию двойственности для конечных групп.
-
Общая теория локально компактных групп
- Построена Кацем, Эноком и Шварцем
- Исследования возобновлены после открытия квантовых групп
- Теории сформулированы на языке C*-алгебр
-
Недостатки общих теорий
- Объекты не являются алгебрами Хопфа
- Недостаток исправляется в рамках теорий двойственности
-
Теории двойственности
- Основаны на понятии огибающей топологической алгебры
- Исправляют недостаток для некоторых классов групп