Функция сохранения предела (теория порядка)

• Основы теории порядка

  • Функции, сохраняющие пределы, сопоставляют границы множеств с их границами изображений. 
  • Пределы могут быть конечными, направленными, непустыми или произвольными. 
  • Инверсия сохранения пределов приводит к функциям, отражающим пределы. 

• Исторический контекст и мотивация

  • Теория порядка часто ограничена полными упорядоченными множествами с определенными предельными конструкциями. 
  • В теории решеток важны порядки с конечными непустыми множествами с наименьшей верхней границей и наибольшей нижней границей. 
  • В теории предметной области рассматриваются порядки с высшим пределом для каждого направленного подмножества. 

• Формальное определение и свойства

  • Функция f сохраняет максимальную величину S, если f(S) имеет наименьшую верхнюю границу, равную f(s). 
  • Функция f сохраняет конечное, непустое, направленное или произвольное превосходство, если она сохраняет превосходство соответствующих множеств. 
  • Отражение — это свойство, обратное сохранению границ. 

• Особые случаи и их значение

  • Функции, сохраняющие пустой верхний предел, эквивалентны сохранению наименьшего элемента. 
  • Функции, сохраняющие все ограничения, могут быть связаны с уникальными связями Галуа. 
  • Решетка является дистрибутивной, если функция meet^ сохраняет бинарное превосходство. 
  • Скотт-непрерывность — это сохранение направленного превосходства, которое может быть связано с непрерывностью в теории категорий. 

• Важные свойства и результаты

  • Определение сохранения предела строгое и связано с монотонностью. 
  • Существуют связи между свойствами сохранения, например, сохранение направленного превосходства эквивалентно сохранению превосходства всех идеалов. 
  • Функция, сохраняющая все верхние значения, не обязательно сохраняет все нижние значения. 

• Рекомендации

  • Статья предлагает разъяснения и общие результаты по основным понятиям теории порядка.