Гармоническая функция
-
Основные свойства гармонических функций
- Гармонические функции удовлетворяют уравнению Лапласа и являются решениями дифференциального уравнения в частных производных.
- Они обладают свойством среднего значения, которое позволяет восстанавливать функцию из ее значений на множестве.
- Они также обладают свойством инвариантности среднего значения, которое позволяет сохранять среднее значение при изменении области интегрирования.
-
Теорема Лиувилля и ее следствия
- Если гармоническая функция ограничена сверху или снизу, то она постоянна.
- Нельсон предложил доказательство теоремы Лиувилля, используя свойство среднего значения и теорему о среднем значении.
-
Неравенство Харнака и устранение особенностей
- Неравенство Харнака утверждает, что для любой гармонической функции u на связном множестве V, supV u ≤ CinfV u, где C зависит только от V и Ω.
- Принцип устранения особенностей позволяет распространить гармоническую функцию на область, где она менее сингулярна.
-
Приложения и обобщения
- Гармонические функции имеют множество приложений в математике и физике, включая теорию потенциала и квантовую механику.
- Они также играют важную роль в теории функций комплексного переменного.
- Обобщения гармонических функций включают функции с более чем одной переменной и функции с некомпактной поддержкой.
- Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.