Оглавление
- 1 Группа трехмерного вращения
- 1.1 Определение и свойства группы вращений
- 1.2 Матричное представление вращений
- 1.3 Сохранение длины и углов
- 1.4 Структура группы вращений
- 1.5 Ось вращения и топология
- 1.6 Фундаментальная группа SO(3)
- 1.7 Универсальное покрытие SO(3)
- 1.8 Связь между кватернионами и вращениями
- 1.9 Использование преобразований Мебиуса
- 1.10 Алгебра Ли SO(3)
- 1.11 Идентификация и свойства алгебры Ли
- 1.12 Инвариант Казимира и представления
- 1.13 Изоморфизм с SU(2)
- 1.14 Экспоненциальная карта
- 1.15 Логарифмическая карта
- 1.16 Равномерная случайная выборка
- 1.17 Формула Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа
- 1.18 Под шляпой – изоморфизм
- 1.19 Нормализация образующих алгебры Ли
- 1.20 Кватернионная формула композиции вращений
- 1.21 Бесконечно малые вращения
- 1.22 Реализации поворотов
- 1.23 Сферические гармоники
- 1.24 Обобщения
- 1.25 Дополнительные темы
- 1.26 Полный текст статьи:
- 2 Группа 3D ротации – Arc.Ask3.Ru
Группа трехмерного вращения
-
Определение и свойства группы вращений
- Группа вращений (3) состоит из всех вращений вокруг начала координат в трехмерном евклидовом пространстве.
- Вращения сохраняют начало координат, евклидово расстояние и ориентацию.
- Объединение двух вращений приводит к новому вращению, каждое вращение имеет обратное.
- Группа вращений является неабелевой и компактной.
-
Матричное представление вращений
- Вращения могут быть представлены ортогональными матрицами 3 × 3.
- Ортогональные матрицы с определителем 1 называются специальными ортогональными матрицами (SO(3)).
- Группа SO(3) изоморфна группе вращений.
-
Сохранение длины и углов
- Вращения сохраняют длину и углы между векторами.
- Каждое линейное преобразование, сохраняющее длину, сохраняет скалярное произведение и угол между векторами.
-
Структура группы вращений
- Группа вращений является подгруппой общей линейной группы.
- Каждое правильное вращение является комбинацией двух отражений.
- Конечные подгруппы SO(3) полностью классифицированы.
-
Ось вращения и топология
- Каждое вращение фиксирует уникальную ось вращения.
- Вращение может быть представлено углом поворота и единичным вектором.
- Группа Ли SO(3) диффеоморфна вещественному проективному пространству P3(R).
- Шар с идентифицированными противоположными точками поверхности гомеоморфен группе вращений.
-
Фундаментальная группа SO(3)
- Фундаментальная группа SO(3) является циклической группой порядка 2.
- Это позволяет существование спиноров и теоремы о спиновой статистике.
-
Универсальное покрытие SO(3)
- Универсальное покрытие SO(3) — группа Ли Spin(3).
- Spin(3) изоморфна SU(2) и диффеоморфна S3.
-
Связь между кватернионами и вращениями
- Кватернионы единичной нормы изоморфны SU(2).
- Существует гомоморфизм 2:1 от кватернионов к SO(3).
-
Использование преобразований Мебиуса
- Преобразования Мебиуса могут быть использованы для представления SO(3).
- Преобразования Мебиуса соответствуют матрицам SU(2).
-
Алгебра Ли SO(3)
- Алгебра Ли SO(3) состоит из кососимметрических матриц 3 × 3.
- Алгебра Ли изоморфна алгебре Ли R3 с перекрестным произведением.
-
Идентификация и свойства алгебры Ли
- Алгебра Ли SO(3) соответствует перекрестному произведению в R3.
- Вектор u находится в нулевом пространстве кососимметрической матрицы.
-
Инвариант Казимира и представления
- Инвариант Казимира для SO(3) — сумма квадратов образующих.
- Собственные значения инварианта Казимира характеризуют представления.
- Для унитарных представлений Dj собственные значения вещественные и дискретные.
-
Изоморфизм с SU(2)
- Алгебры Ли SO(3) и SU(2) изоморфны.
- Матрицы Паули соответствуют физическому соглашению об алгебрах Ли.
-
Экспоненциальная карта
- Экспоненциальное отображение для SO(3) обеспечивает диффеоморфизм.
- Экспоненциальное отображение сюръективно.
-
Логарифмическая карта
- Логарифм R задается формулой через антисимметричную часть.
-
Равномерная случайная выборка
- SO(3) дважды покрывается группой единичных кватернионов.
- Равномерная случайная выборка в SO(3) эквивалентна созданию равномерно случайной точки на трехмерной сфере.
-
Формула Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа
- Формула BCH описывает умножение экспонент в алгебре Ли.
- Для SO(3) формула сводится к компактной форме.
-
Под шляпой – изоморфизм
- Составной генератор вращения является тождеством алгебры Ли.
- Ядро гомоморфизма алгебры Ли идеально, что справедливо для всех точных представлений.
-
Нормализация образующих алгебры Ли
- Выразите матрицы Паули через t-матрицы
- Вычислите соотношения коэффициентов
- Убедитесь, что коэффициенты совпадают
-
Кватернионная формула композиции вращений
- Определите ось вращения и угол составного вращения
- Используйте кватернион для описания вращения
- Выведите формулу Родригеса для оси составного вращения
-
Бесконечно малые вращения
- Бесконечно малая матрица вращения представляет бесконечно малое вращение
- Дифференциал вращения является кососимметричной матрицей
- Бесконечно малая матрица вращения имеет вид I + dθA
-
Реализации поворотов
- Повороты можно представить в виде ортогональных матриц, по оси и углу поворота, в алгебре кватернионов, в геометрической алгебре, как последовательность из трех поворотов
-
Сферические гармоники
- Группа SO(3) имеет бесконечномерное представление в гильбертовом пространстве
- Внутреннее произведение задается формулой
- Действие группы Лоренца выражается через экспоненту нечетного su(2)-представления
-
Обобщения
- Группа вращения обобщается на n-мерное евклидово пространство
- В специальной теории относительности используются преобразования Лоренца
- Группа вращения SO(3) является подгруппой E+(3)
-
Дополнительные темы
- Ортогональная группа, угловой момент, координатные вращения
- Графики на SO(3), представления SO(3), углы Эйлера
- Формула ротации Родригеса, бесконечно малое вращение, группа контактов
- Кватернионы и пространственные вращения, твердое тело, сферические гармоники
- Плоскость вращения, группа лжи, матрица Паули, трюк с тарелкой, оператор трехмерного вращения