Оглавление
- 1 Интеграл Макшейна
- 1.1 Определение интеграла Макшейна
- 1.2 Свободные помеченные разделы
- 1.3 Датчики
- 1.4 Интеграл Макшейна
- 1.5 Примеры интегрируемости
- 1.6 Связь с производными финансовыми инструментами
- 1.7 Интеграл Макшейна и его свойства
- 1.8 Теорема 1: Абсолютная интегрируемость интеграла Макшейна
- 1.9 Теорема 2: Интегрируемость производных интегрируемых функций
- 1.10 Пример 3: Противоречие между теоремами
- 1.11 Связь с интегралом Лебега
- 1.12 Полный текст статьи:
- 2 Интеграл МакШейна
Интеграл Макшейна
-
Определение интеграла Макшейна
- Интеграл Макшейна является модификацией интеграла Хенстока-Курцвейла.
- Интеграл Макшейна эквивалентен интегралу Лебега.
- Интеграл Макшейна определяется через свободные помеченные разделы и датчики.
-
Свободные помеченные разделы
- Свободный помеченный раздел P от [a, b] представляет собой набор пар (t, [a-1, a]).
- Тег t может находиться за пределами подинтервалов, что делает раздел свободным.
-
Датчики
- Датчик δ: [a, b] → (0, +∞) управляет шириной подинтервалов.
- Свободный помеченный раздел P является δ-прекрасным, если для всех i = 1, 2, …, n, δ(t) ≤ ε/2.
-
Интеграл Макшейна
- Функция f: [a, b] → R интегрируема по Макшейну, если для каждого ε > 0 существует подходящий датчик δ, такой что для всех δ-прекрасных разделов P, |S(P, f) – ∫a b f| < ε.
-
Примеры интегрируемости
- Функция f(x) = 1, если x ∈ [a, b], интегрируема по Макшейну и имеет интеграл b – a.
- Функция Дирихле d(x) = {1, если x рационально, 0, если x иррационально}, интегрируема по Макшейну и имеет интеграл 0.
-
Связь с производными финансовыми инструментами
- Интегралы Хенстока-Курцвейла и Макшейна удовлетворяют элементарным свойствам, таким как аддитивность, непрерывность, монотонность и дифференцируемость.
-
Интеграл Макшейна и его свойства
- Интеграл Макшейна и интеграл Хенстока-Курцвейла имеют схожие свойства, но различаются в некоторых аспектах.
- Интеграл Макшейна интегрирует абсолютные значения функций, в то время как интеграл Хенстока-Курцвейла интегрирует производные дифференцируемых функций.
-
Теорема 1: Абсолютная интегрируемость интеграла Макшейна
- Если функция f интегрируема по Макшейну, то её абсолютная величина также интегрируема по Макшейну.
- Интеграл абсолютной величины функции f не превосходит интеграла самой функции.
-
Теорема 2: Интегрируемость производных интегрируемых функций
- Если функция F дифференцируема на отрезке [a, b], то её производная F’ интегрируема по Хенстоку-Курцвейлу.
- Интеграл производной функции F’ равен разности значений функции на концах отрезка.
-
Пример 3: Противоречие между теоремами
- Функция F’ интегрируема по Хенстоку-Курцвейлу, но не интегрируема по Макшейну.
- Функция g, абсолютная величина производной F’, не интегрируема ни по Макшейну, ни по Хенстоку-Курцвейлу.
-
Связь с интегралом Лебега
- Интеграл Макшейна эквивалентен интегралу Лебега.
- Интеграл Макшейна можно рассматривать как новую формулировку интеграла Лебега без использования теории меры.