Интеграл Петтиса

• Определение интегрируемости по Петтису

  • Интегрируемость по Петтису — это свойство, при котором интеграл от функции по мере может быть выражен через интеграл от масштабируемой функции. 
  • Функция должна быть измерима и ограничена, а мера должна быть конечной. 

• Теорема Хана-Банаха

  • Теорема Хана-Банаха утверждает, что для каждого вектора в векторном пространстве существует непрерывный функционал, который принимает его значение. 

• Теорема о среднем значении

  • Интеграл Петтиса содержится в замыкании выпуклой оболочки масштабируемых значений. 
  • Если функция интегрируема по Петтису, то каждая ее координата также интегрируема. 

• Существование интегрируемых функций

  • Если пространство конечномерно и функция непрерывна с компактной опорой, то она интегрируема по Петтису. 
  • Если пространство топологическое и функция слабо измерима, то она интегрируема по Петтису при определенных условиях. 

• Закон больших чисел для случайных величин

  • Если последовательность случайных величин интегрируема по Петтису, то их среднее значение также интегрируемо и сходится к некоторому вектору. 
  • Слабый закон больших чисел утверждает, что среднее значение сходится к этому вектору в слабой топологии. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.