Оглавление
- 1 К-теория
- 1.1 Определение K-теории
- 1.2 Функториальное отображение
- 1.3 Примеры результатов
- 1.4 Применение в физике
- 1.5 Завершение Гротендика
- 1.6 Примеры для натуральных чисел
- 1.7 Определения K-теории
- 1.8 Ранняя история
- 1.9 Исторический контекст
- 1.10 Развитие алгебраической K-теории
- 1.11 Примеры и свойства
- 1.12 Приложения
- 1.13 Виртуальный касательный пучок
- 1.14 Черные символы
- 1.15 Эквивариантная K-теория
- 1.16 Связанные теории
- 1.17 Полный текст статьи:
- 2 К-теория
К-теория
-
Определение K-теории
- K-теория изучает кольцо, порожденное векторными расслоениями над топологическим пространством или схемой.
- В алгебраической топологии это теория когомологий.
- В алгебре и алгебраической геометрии это алгебраическая K-теория.
- В операторных алгебрах это изучение инвариантов больших матриц.
-
Функториальное отображение
- K-теория предполагает построение семейств K-функторов, отображающих топологические пространства или схемы в ассоциированные кольца.
- Эти кольца отражают аспекты структуры исходных пространств или схем.
-
Примеры результатов
- Теорема Гротендика–Римана–Роха.
- Периодичность Ботта.
- Теорема об индексе Атии–Сингера.
- Операции Адамса.
-
Применение в физике
- В физике высоких энергий K-теория классифицирует D-браны и спиноры.
- В физике конденсированных сред K-теория используется для классификации топологических изоляторов и сверхпроводников.
-
Завершение Гротендика
- Преобразование абелева моноида в абелеву группу.
- Классы эквивалентности рассматриваются как формальные различия элементов.
- Завершение Гротендика сопряжено с забывчивым функтором.
-
Примеры для натуральных чисел
- Завершение Гротендиком натуральных чисел дает группу целых чисел.
- Классы эквивалентности можно рассматривать как целые положительные и отрицательные числа.
-
Определения K-теории
- Группа Гротендика для компактных хаусдорфовых пространств.
- Группа векторных расслоений Гротендика в алгебраической геометрии.
- Группа когерентных пучков Гротендика в алгебраической геометрии.
-
Ранняя история
- Александр Гротендик использовал K-теорию для формулировки теоремы Гротендика–Римана–Роха.
- В топологии K-теория была применена Майклом Атией и Фридрихом Хирцебрухом для экстраординарной теории когомологий.
-
Исторический контекст
- Жан-Пьер Серр сформулировал гипотезу Серра в 1955 году.
- Гипотеза была подтверждена только в 1975 году.
- Уайтхед и другие работали над кручением Уайтхеда.
-
Развитие алгебраической K-теории
- Дэниел Квиллен дал два эквивалентных определения K-теории в 1969 и 1972 годах.
- Фридхельм Вальдхаузен предложил вариант для изучения K-теории пространств.
- Современные исследования связаны с алгебраической геометрией и мотивирующими когомологиями.
-
Примеры и свойства
- K0 поля: группа Гротендика точки равна Z.
- K0 артиновой алгебры: инвариантен относительно редукции, равен прямой сумме копий Z.
- K0 проективного пространства: вычисляется через формулу push pull.
- K0 проективного расслоения: вычисляется через формулу проективного расслоения.
- K0 сингулярных пространств: вычисляется через группу Гротендика категории сингулярности.
- K0 гладкой проективной кривой: вычисляется через спектральную последовательность Брауна-Герстена-Квиллена.
-
Приложения
- Виртуальные пакеты: определение виртуальных векторных расслоений.
- Виртуальное касательное расслоение пересечения пространств.
-
Виртуальный касательный пучок
- Определяется как пересечение двух виртуальных касательных пучков
- Используется Концевичем в своих работах
-
Черные символы
- Используются для построения гомоморфизма колец из топологической K-теории до рациональных когомологий
- Определяются для линейного пучка L как ch(L)
- Для прямой суммы линейных расслоений символ Черна определяется аддитивно
- Полезен для вычисления класса Черна тензорного произведения
- Используется в теореме Хирцебруха–Римана–Роха
-
Эквивариантная K-теория
- Алгебраическая K-теория, связанная с категорией эквивариантных когерентных пучков на алгебраической схеме X с действием линейной алгебраической группы G
- Определяется с помощью Q-конструкции Квиллена
- K0G(C) является группой Гротендика из CohG(X)
- Разработана Р. W. Томасоном в 1980-х годах
- Доказаны эквивариантные аналоги фундаментальных теорем, таких как теорема о локализации
-
Связанные теории
- Нижняя периодичность
- КК-теория
- КР-теория
- Список теорий когомологий
- Алгебраическая K-теория
- Топологическая K-теория
- Операторная K-теория
- Теорема Гротендика–Римана–Роха