Оглавление [Скрыть]
Квадратично-интегрируемая функция
-
Определение квадратично интегрируемой функции
- Квадратично интегрируемая функция — это измеримая функция с вещественным или комплекснозначным значением, для которой интеграл от квадрата абсолютного значения конечен.
- Интеграл может быть определен на вещественной прямой или на ограниченных интервалах.
-
Свойства квадратично интегрируемых функций
- Квадратично интегрируемые функции образуют пространство внутреннего произведения.
- Внутреннее произведение задается формулой, включающей интеграл от комплексного сопряжения функции.
- Квадратичная интегрируемость эквивалентна условию, что внутреннее произведение функции с самой собой конечно.
-
Метрические и топологические свойства
- Квадратично интегрируемые функции образуют полное метрическое пространство под метрикой, индуцированной внутренним произведением.
- Это пространство является банаховым и Гильбертовым.
- Обозначение L2 используется для обозначения набора квадратично интегрируемых функций без указания метрики, нормы или внутреннего произведения.
-
Примеры и контрпримеры
- Функция 1/x^n, определенная на (0,1), интегрируема по квадратам для n < 1/2, но не для n = 1/2.
- Функция 1/x, определенная на [1,∞), интегрируема по квадратам.
- Ограниченные функции, определенные на [0,1], интегрируемы по площади и находятся в Lp для любого p.
- Функция 1/x, определенная на [0,1] с произвольным значением на 0, не интегрируема по квадратам и отсутствует в Lp для любого p в [1,∞).