Оглавление
- 1 Квадрика (алгебраическая геометрия)
- 1.1 Определение и свойства квадрик
- 1.2 Основные свойства квадрик
- 1.3 Определение и классификация квадрик
- 1.4 Линейные подпространства квадрик
- 1.5 Низкоразмерные квадрики
- 1.6 Разложение Брюа
- 1.7 Кольцо Чоу для разделенной квадрики
- 1.8 Изотропные грассманианы и проективное чисто спинорное многообразие
- 1.9 Спинорные расслоения на квадриках
- 1.10 Значимость спинорных расслоений
- 1.11 Полный текст статьи:
- 2 Квадрика (алгебраическая геометрия)
Квадрика (алгебраическая геометрия)
-
Определение и свойства квадрик
- Квадрика — подпространство N-мерного пространства, определяемое полиномиальным уравнением степени 2.
- Квадрики являются фундаментальными примерами в алгебраической геометрии.
- Теория упрощается за счет работы в проективном пространстве.
-
Основные свойства квадрик
- Квадрики обладают естественным действием ортогональной группы.
- Многие свойства квадрик справедливы для проективных однородных многообразий.
- Квадрики обобщаются многообразиями Фано.
-
Определение и классификация квадрик
- Квадрика X размерности n над полем k определяется как q = 0, где q — ненулевой однородный многочлен степени 2.
- Если q — произведение двух линейных форм, X — объединение двух гиперплоскостей.
- Квадрики над алгебраически замкнутым полем рациональны.
-
Линейные подпространства квадрик
- Каждое линейное пространство, содержащееся в гладкой квадрике, имеет размерность не более половины размерности квадрики.
- Гладкая квадрика над алгебраически замкнутым полем расщепляется.
- Пространство Y всех линейных подпространств максимальной размерности в гладкой квадрике связно, если X имеет нечетную размерность, и имеет две компоненты связности, если X имеет четную размерность.
-
Низкоразмерные квадрики
- Квадратичная кривая в P2 называется конической.
- Расщепленная коника изоморфна P1 над k.
- Расщепленная квадрическая поверхность изоморфна P1 × P1, встроенный в P3.
- Пространство прямых на квадрической поверхности имеет две связные компоненты, каждая из которых изоморфна P1.
-
Разложение Брюа
- Гладкая квадрика над полем k является проективным однородным многообразием для ортогональной группы.
- Расщепленная квадрика X имеет алгебраическое разложение по ячейкам, известное как разложение Брюа.
- Разделенная квадрика X размерности n имеет только одну ячейку каждого измерения r, за исключением среднего измерения четномерной квадрики, где есть две ячейки.
-
Кольцо Чоу для разделенной квадрики
- Кольцо Чоу для разделенной квадрики размерности n над полем можно вычислить с помощью разложения Брюа.
- Для n = 2m − 1, CH∗(X) ≅ Z[h, l]/(hm − 2l, l2).
- Для n = 2m, CH∗(X) ≅ Z[h, l]/(hm + 1 − 2hl, l2 − ahml).
- h – класс гиперплоскостного сечения, l – класс максимального линейного подпространства X.
-
Изотропные грассманианы и проективное чисто спинорное многообразие
- Пространство r-плоскостей в гладкой n-мерной квадрике является изотропным грассманианом OGr(r + 1, n + 2).
- Изотропный грассманиан OGr(m, 2m + 1) можно рассматривать как многообразие проективных чистых спиноров.
- Изотропный грассманиан над комплексными числами является однородным пространством для SO(n + 2, C).
-
Спинорные расслоения на квадриках
- Спинорные расслоения играют особую роль среди векторных расслоений на квадрике.
- Спинорные расслоения определяются как G-эквивариантные векторные расслоения, связанные с представлениями спиновой группы Spin(n).
- Для четного n любое отражение в ортогональной группе переключает два спинорных расслоения.
-
Значимость спинорных расслоений
- Спинорные расслоения образуют полную исключительную коллекцию в производной категории когерентных пучков на квадрике.
- Спинорные расслоения и линейные расслоения O(j) образуют группу алгебраических векторных расслоений Гротендика на гладкой квадрике.
- Топологическая K-группа K0(X) задается той же формулой, а K1(X) равна нулю.