Оглавление
Квазивыпуклость (вариационное исчисление)
-
Определение квазивыпуклости
- Квазивыпуклость — обобщение выпуклости для функций на матрицах.
- Функция f: Rm × d → R называется квазивыпуклой, если ∫B(0,1)(f(A + ∇ψ(x)) − f(A))dx ≥ 0 для всех A ∈ Rm × d и ψ ∈ W01,∞(B(0,1), Rm).
-
Свойства квазивыпуклых функций
- Область B(0,1) может быть заменена любой ограниченной областью Липшица.
- Квазивыпуклые функции локально непрерывны по Липшицу.
- В определении пространство W01,∞ может быть заменено периодическими функциями Соболева.
-
Связь с другими понятиями выпуклости
- Квазивыпуклость обобщает выпуклость для функций на матрицах.
- Определитель det(R^d × d) является примером квазивыпуклой функции, которая не является выпуклой.
- В векторном случае вариационного исчисления существуют другие понятия выпуклости, такие как многовыпуклость и ранг-1-выпуклость.
-
Связь со слабой нижней полунепрерывностью
- При определенном условии роста подынтегрального выражения последовательная слабая нижняя полунепрерывность интегрального функционала эквивалентна квазивыпуклости подынтегрального выражения.
- Теорема Ачерби и Фаско утверждает, что если f: Rd × Rm × Rd × m → R является каратеодорической функцией и удовлетворяет условию роста, то функциональный F[u] = ∫Ωf(x, u(x), ∇u(x))dx является swlsc в W1,p(Ω, Rm) с p > 1 тогда и только тогда, когда f является квазивыпуклым.