Матрица плотности
-
Определение и мотивация
- Матрица плотности описывает ансамбль физических систем как квантовые состояния.
- Позволяет рассчитать вероятности результатов измерений.
- Обобщает векторы состояния, представляя смешанные ансамбли.
-
Свойства матрицы плотности
- Матрица плотности получается из оператора плотности путем выбора ортонормированного базиса.
- Оператор плотности является положительным полуопределенным эрмитовым оператором.
- Матрица плотности может быть записана как сумма вероятностей чистых состояний.
-
Чистое и смешанное состояния
- Чистое состояние не может быть записано как вероятностная смесь.
- Оператор плотности представляет чистое состояние, если он является проекцией, идемпотентен и имеет чистоту одну.
- Смешанное состояние может быть записано как линейная комбинация чистых состояний.
-
Примеры и приложения
- Матрицы плотности используются в квантовой статистической механике, открытых квантовых системах и квантовой информации.
- Пример: поляризация света, где фотон может быть в правой или левой круговой поляризации или в суперпозиции обоих состояний.
-
Поляризация света
- Поляризованный свет описывается состояниями |R>, |L>, |V>, |H>.
- Неполяризованный свет не может быть описан как состояние формы |R> + |L>.
- Неполяризованный свет можно описать как статистический ансамбль.
-
Эквивалентные ансамбли и очистки
- Оператор плотности не определяет однозначно ансамбль чистых состояний.
- Существует бесконечно много эквивалентных ансамблей, генерирующих одну и ту же матрицу плотности.
- Оператор плотности имеет бесконечно много различных очищений.
-
Измерение
- Оператор плотности после измерения задается формулой, включающей след оператора.
- Вероятности результатов измерений задаются трассировкой проектора.
- Теорема Глисона показывает, что в гильбертовых пространствах размерности 3 или больше предположение о линейности может быть заменено неконтекстуальностью.
-
Энтропия
- Энтропия фон Неймана смеси выражается через собственные значения оператора плотности.
- Энтропия чистого состояния равна нулю.
- Энтропия выпуклой комбинации состояний задается энтропиями состояний и энтропией Шеннона распределения вероятностей.
-
Уравнение фон Неймана для временной эволюции
- Уравнение фон Неймана описывает эволюцию оператора плотности во времени.
- Уравнение справедливо только на рисунке Шредингера.
- Для гамильтониана, не зависящего от времени, уравнение легко решается.
-
Функции Вигнера и классические аналогии
- Оператор матрицы плотности может быть реализован в фазовом пространстве.
- Уравнение для временной эволюции функции Вигнера аналогично уравнению Лиувилля классической физики.
-
Матрицы плотности в квантовой механике
- Матрицы плотности являются основным инструментом квантовой механики.
- Используются в различных типах квантово-механических вычислений.
-
Статистическая механика
- Матрицы плотности выражают идею о системе при ненулевой температуре.
- Построение матрицы плотности с использованием канонического ансамбля.
- Условие нормализации определяет функцию разбиения.
-
Теория квантовой декогеренции
- Матрицы плотности упрощают описание процесса декогеренции.
- Декогеренция объясняет переход системы из чистого состояния в смешанное.
- Декогеренция не объясняет коллапс волновой функции.
-
Квантовые вычисления и информация
- Матрицы плотности используются в квантовых вычислениях и теории информации.
- Шум моделируется с помощью каналов деполяризации и амплитудного демпфирования.
-
Квантовая томография
- Процесс вычисления матрицы плотности на основе данных измерений.
- Используется для анализа систем с большим количеством электронов.
-
C*-алгебраическая формулировка
- Наблюдаемые величины отождествляются с элементами C*-алгебры.
- Состояния являются положительными линейными функционалами на C*-алгебре.
- Чистые состояния соответствуют неприводимым представлениям C*-алгебры.
-
История
- Формализм операторов плотности введен Джоном фон Нейманом в 1927 году.
- Лев Ландау независимо ввел матрицы плотности в 1946 году.
- Название «матрица плотности» связано с вероятностной мерой фазового пространства.