Оглавление
- 1 Мера (математика)
- 1.1 Понятие меры
- 1.2 История и основы
- 1.3 Определение меры
- 1.4 Примеры мер
- 1.5 Основные свойства мер
- 1.6 Полнота и “опускание грани”
- 1.7 Непрерывность меры
- 1.8 Полуконечные меры
- 1.9 Полуконечная часть меры
- 1.10 Примеры и не-примеры
- 1.11 Полуконечные меры
- 1.12 Локализуемые меры
- 1.13 s-конечные меры
- 1.14 Неизмеримые множества
- 1.15 Обобщения мер
- 1.16 Дополнительные ресурсы
- 1.17 Изменения в печати
- 1.18 Различия в представлениях
- 1.19 Авторы и книга
- 1.20 Рекомендации и внешние ссылки
- 1.21 Полный текст статьи:
- 2 Мера (математика)
Мера (математика)
-
Понятие меры
- Мера обобщает геометрические меры и другие общие понятия.
- Мера может принимать отрицательные значения, как в случае с электрическим зарядом.
- Мера широко используется в квантовой физике и физике в целом.
-
История и основы
- Интуиция восходит к Древней Греции.
- Современная теория измерения основана на работах Эмиля Бореля, Анри Лебега и других.
-
Определение меры
- Мера определяется как функция от σ-алгебры к расширенному вещественному числу.
- Мера должна быть неотрицательной, счетно аддитивной и принимать значение 0 на пустом множестве.
-
Примеры мер
- Мера подсчета: количество элементов в множестве.
- Мера Лебега: полная трансляционно-инвариантная мера на интервалах в R.
- Мера кругового угла: инвариантна при вращении.
- Мера Хаусдорфа: обобщение меры Лебега на множества с нецелочисленной размерностью.
-
Основные свойства мер
- Монотонность: мера множества не увеличивается при его расширении.
- Исчисляемая субаддитивность: мера объединения множеств не превышает суммы их мер.
- Непрерывность снизу: мера объединения увеличивающихся множеств равна их пределу.
- Непрерывность сверху: мера пересечения уменьшающихся множеств равна их пределу, если хотя бы одно из множеств имеет конечную меру.
-
Полнота и “опускание грани”
- Мера называется полной, если каждый пренебрежимо малый набор поддается измерению.
- Мера может быть расширена до полной, рассматривая σ-алгебру подмножеств, незначительно отличающихся от измеримого множества.
- Мера “опускает грань”: мера множества, где функция принимает значение, не меньше заданного, равна мере множества, где функция принимает значение больше заданного.
-
Непрерывность меры
- Мера μ на Σ является κ-добавкой, если для любого λ < κ и любого семейства непересекающихся множеств Xα, α < λ, μ(⋃α∈λXα) = ∑α∈λμ(Xα).
- Мера μ называется σ-конечной, если X может быть разложен на счетное объединение измеримых множеств конечной меры.
-
Полуконечные меры
- Полуконечная мера μ означает, что для всех A ∈ μпре{+∞}, P(A) ∩ μпре(R>0) ≠ ∅.
- Каждая сигма-конечная мера является полуконечной.
- Мера Хаусдорфа Hs|B и мера упаковки Hs|B являются полуконечными.
-
Полуконечная часть меры
- Для любой меры μ на A, среди полуконечных мер по A, которые меньше или равны μ, наибольший элемент μsf.
- μsf = (отхлебывать{μ(B): B ∈ P(A) ∩ μпре(R≥0)}).
- μsf = (отхлебывать{μ(A∩B): B ∈ μпре(R≥0)}).
- μsf = μ|μпре(R>0) ∪ {A ∈ A: отхлебывать{μ(B): B ∈ P(A)} = +∞} × {+∞} ∪ {A ∈ A: отхлебывать{μ(B): B ∈ P(A)} < +∞} × {0}.
-
Примеры и не-примеры
- Каждый 0-∞ мера, которая не является нулевой, не является полуконечной.
- Примеры 0-∞ мер: X = {0}, A = {∅, X}, μ = {(∅, 0), (X, +∞)}.
- Примеры 0-∞ мер: X неисчислимо, A σ-алгебра на X, C = {A ∈ A: A является счетным}, μ = C × {0} ∪ (A ∖ C) × {+∞}.
-
Полуконечные меры
- Полуконечные меры удаляются, если их 0-∞ часть удаляется.
- Теорема Лютера утверждает, что для любой меры существует 0-∞ мера, такая что мера равна сумме полуконечной меры и 0-∞ меры.
- 0-∞ мера называется μ0-∞.
-
Локализуемые меры
- Локализуемые меры являются частным случаем полуконечных мер.
- Локализуемые меры определяются через биективное отображение.
-
s-конечные меры
- s-конечные меры являются счетными суммами конечных мер.
- s-конечные меры применяются в теории случайных процессов.
-
Неизмеримые множества
- Не все подмножества евклидова пространства измеримы по Лебегу.
- Примеры неизмеримых множеств включают множество Витали и парадоксы Хаусдорфа и Банаха-Тарского.
-
Обобщения мер
- Мера со знаком принимает значения в действительных числах со знаком.
- Комплексная мера принимает значения в комплексных числах.
- Проекционно-значная мера принимает значения в наборе самосопряженных проекций на гильбертово пространство.
- Конечно-аддитивная мера требует конечной аддитивности вместо счетной.
- Заряд является конечно-аддитивной мерой со знаком.
-
Дополнительные ресурсы
- Математический портал
- Абелева алгебра фон Неймана
- Почти везде
- Теорема о расширении Каратеодори
- Содержание (теория измерения)
- Теорема Фубини
- Лемма Фату
- Теория нечетких измерений
- Теория геометрических мер
- Мера Хаусдорфа
- Внутренняя мера
- Интеграция Лебега
- Мера Лебега
- Пространство Лоренца
- Теория подъема
- Измеримый коэффициент
- Измеримая функция
- Содержание по Минковскому
- Внешняя мера
- Мера продукта
- Опережающая мера
- Регулярная мера
- Векторная мера
- Оценка (теория измерения)
- Объемная форма
-
Изменения в печати
- При втором варианте печати удаляются упражнения 36, 40, 41 и 42 главы 2
- Предлагается иное представление части (ii) упражнения 17.8
-
Различия в представлениях
- Представление части (ii) упражнения 17.8 во второй распечатке согласуется с обычными презентациями
- Представление первой распечатки дает свежий взгляд
-
Авторы и книга
- Шилов, Г. Э., и Гуревич Б. Л., 1978
- Интеграл, мера и производная: единый подход, Ричард А. Сильверман, пер.
- Публикации в Дувре
- ISBN 0-486-63519-8
- Подчеркивает интеграл Даниэля
-
Рекомендации и внешние ссылки
- Учебное пособие: Теория измерений для чайников