Оглавление

Непрерывная функция

Определение непрерывности
- Непрерывная функция — это функция, у которой небольшое изменение аргумента вызывает небольшое изменение значения.
- Прерывистая функция — это функция, которая не является непрерывной.
- Эпсилон-дельта-определение предела формализует непрерывность.
История непрерывности
- Бернар Больцано дал первое формальное определение непрерывности в 1817 году.
- Огюстен-Луи Коши определил непрерывность в 1834 году.
- Эдуард Гурса и Камиль Джордан предложили различные определения непрерывности.
Реальные функции
- Вещественная функция непрерывна, если её график представляет собой единую кривую.
- Функция непрерывна на открытом интервале, если она непрерывна в каждой точке интервала.
- Функция непрерывна на полуоткрытом или замкнутом интервале, если она непрерывна в каждой внутренней точке и имеет предел в каждой конечной точке.
Частичные функции
- Частичная функция непрерывна в своей области, если она непрерывна в каждой внутренней точке и имеет предел в каждой конечной точке.
- Частичная функция прерывиста в точке, если точка принадлежит топологическому замыканию области и либо не принадлежит области, либо функция не непрерывна в точке.
Математическая нотация
- Функция f непрерывна в точке c, если предел f(x) при x, стремящемся к c, равен f(c).
- Функция непрерывна в точке c, если для любой окрестности N1(f(c)) существует окрестность N2(c), такая что f(x) ∈ N1(f(c)) для всех x ∈ N2(c).
Определение непрерывности функции
- Функция непрерывна в изолированной точке своей области.
- Каждая вещественнозначная функция для целых чисел непрерывна.
Определение через пределы последовательностей
- Функция непрерывна, если для любой последовательности точек, сходящейся к c, соответствующая последовательность значений функции сходится к f(c).
Определения Вейерштрасса и Жордана
- Функция непрерывна в точке x0, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x в области с |x – x0| < δ, |f(x) – f(x0)| < ε.
- Функция непрерывна около x0, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x в области: |x – x0| < δ подразумевает |f(x) – f(x0)| < ε.
Определение с точки зрения контроля над остатком
- Функция C-непрерывна в точке x0, если существует соседство N(x0) такое, что |f(x) – f(x0)| ≤ C(|x – x0|) для всех x в D ∩ N(x0).
- Функция непрерывна в x0, если она C-непрерывна для некоторой управляющей функции C.
Определение с использованием колебаний
- Функция непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, когда её колебание в этой точке равно нулю.
- Колебание показывает, насколько функция прерывиста в определенной точке.
Определение с использованием гиперреалов
- Функция непрерывна, если бесконечно малое изменение независимой переменной соответствует бесконечно малому изменению зависимой переменной.
Построение непрерывных функций
- Сумма и произведение непрерывных функций также непрерывны.
- Полиномиальные функции и функции, обратные непрерывным, непрерывны.
- Частное от непрерывных функций также непрерывно, за исключением корней знаменателя.
Примеры непрерывных функций
- Функция y(x) = 2x – 1/x + 2 непрерывна для всех x ≠ -2.
- Функция sinc непрерывна для всех действительных чисел, если G(0) = 1.
Устраняемые особенности
- Повторное определение значений функции делает её непрерывной в определённых точках.
- Композиция функций также непрерывна.
Примеры разрывных функций
- Ступенчатая функция Хевисайда H(x) = {1, если x ≥ 0, 0, если x < 0} является разрывной.
- Сигнум функция sgn(x) = {1, если x > 0, 0, если x = 0, -1, если x < 0} также разрывна при x = 0.
- Функция f(x) = {sin(x^2), если x ≠ 0, 0, если x = 0} непрерывна везде, кроме x = 0.
Патологические функции
- Функция Томэ f(x) = {1, если x = 0, 1/q, если x = p/q (в наименьшем выражении), 0, если x иррационально} непрерывна для иррациональных чисел и разрывна для рациональных чисел.
- Функция Дирихле D(x) = {0, если x иррационально, 1, если x рационально} нигде не непрерывна.
Свойства непрерывных функций
- Функция f(x) ≠ y0 по всему какому-нибудь району x0, если f(x0) ≠ y0.
- Теорема о промежуточном значении утверждает, что если f непрерывно на [a, b] и f(a) и f(b) отличаются по знаку, то существует c ∈ [a, b] с f(c) = 0.
- Теорема об экстремальных значениях утверждает, что если f непрерывно на замкнутом интервале [a, b], то f достигает максимума и минимума.
Отношение к дифференцируемости и интегрируемости
- Каждая дифференцируемая функция f: (a, b) → R непрерывна.
- Обратное не всегда верно: функция абсолютного значения непрерывна, но не дифференцируема при x = 0.
- Производная f'(x) от дифференцируемой функции f(x) не обязательно непрерывна.
- Функция Вейерштрасса непрерывна, но не дифференцируема.
- Производная f’ (x) от дифференцируемой функции f(x) называется непрерывной, если f(x) непрерывно дифференцируема.
- Каждая непрерывная функция f: [a, b] → R интегрируема.
Точечные и равномерные пределы
- Последовательность функций (fn)n∈N, где предел limn→∞ fn(x) существует для всех x ∈ D, называется поточечным пределом.
- Функция точечного ограничения не обязательно непрерывна, даже если все функции fn непрерывны.
- Функция непрерывна, если все функции fn непрерывны и последовательность сходится равномерно.
Непрерывность направления
- Функция непрерывна справа, если при приближении справа к предельной точке не происходит скачка.
- Функция непрерывна слева, если при приближении слева к предельной точке не происходит скачка.
- Функция непрерывна тогда и только тогда, когда она непрерывна справа и слева.
Полунепрерывность
- Функция f является нижней полунепрерывной, если скачки идут только вниз.
- Обратным условием является верхняя полунепрерывность.
Непрерывные функции между метрическими пространствами
- Понятие непрерывных вещественнозначных функций обобщается на функции между метрическими пространствами.
Метрические пространства
- Множество X с функцией dX, измеряющей расстояние между элементами.
- Функция dX удовлетворяет неравенству треугольника.
Непрерывность функций
- Функция f непрерывна в точке c, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x с dX(x, c) < δ, dY(f(x), f(c)) < ε.
- Функция f равномерно непрерывна, если δ не зависит от c.
- Функция непрерывна по Гельдеру с показателем степени α, если dY(f(b), f(c)) ≤ K⋅(dX(b, c))α.
- Функция непрерывна по Липшицу, если dY(f(b), f(c)) ≤ K⋅dX(b, c).
Топологические пространства
- Множество X с топологией, определяющей открытые подмножества.
- Функция f непрерывна, если для каждого открытого множества V в Y, f−1(V) является открытым подмножеством X.
- Функция непрерывна в точке, если предел f при приближении к точке равен f(x).
Альтернативные определения
- Функция последовательно непрерывна, если сохраняет пределы последовательностей.
- Функция непрерывно, если сохраняет пределы сетей.
- В метрических пространствах последовательная непрерывность и континуитет эквивалентны.
Последовательная непрерывность и непрерывность
- Последовательная непрерывность может быть слабее непрерывности в пространствах, не являющихся первыми счетными.
- Непрерывные функции сохраняют границы сетей.
Теорема о непрерывности вещественнозначных функций
- Функция f: A ⊆ R → R непрерывна при x0 тогда и только тогда, когда она последовательно непрерывна в этой точке.
- Доказательство основано на использовании последовательностей и сетей.
Операторы закрывания и внутреннего пространства
- Функция f: X → Y непрерывна тогда и только тогда, когда для каждого подмножества B ⊆ Y, f-1(int Y B) ⊆ int X (f-1(B)).
- Функция f: X → Y непрерывна тогда и только тогда, когда для каждого подмножества A ⊆ X, f(cl X A) ⊆ cl Y (f(A)).
Фильтры и устройства предварительной очистки
- Функция f: X → Y непрерывна тогда и только тогда, когда фильтр B на X сходится в X в некоторой степени x ∈ X, тогда предварительный фильтр f(B) сходится в Y к f(x).
Свойства непрерывных функций
- Если f: X → Y и g: Y → Z непрерывны, то и их композиция g ∘ f: X → Z непрерывна.
- Если f: X → Y непрерывно и X компактно, то f(X) компактно.
- Если f: X → Y непрерывно и X подключено, то f(X) подключено.
- Если f: X → Y непрерывно и X связано с путем, то f(X) связано с путем.
- Если f: X → Y непрерывно и X Линделеф, то f(X) Линделеф.
- Если f: X → Y непрерывно и X отделимо, то f(X) отделимо.
Частичное упорядочение топологий
- Топология τ1 считается более грубой, чем τ2, если каждое открытое подмножество относительно τ1 также открыто относительно τ2.
- Идентификационная карта idX: (X, τ2) → (X, τ1) непрерывна тогда и только тогда, когда τ1 ⊆ τ2.
Гомеоморфизмы
- Симметричным понятию непрерывного отображения является открытое отображение.
- Биективная непрерывная функция с непрерывной обратной функцией называется гомеоморфизмом.
- Если непрерывная биекция имеет в качестве своей области компактное пространство, а ее кодоменом является хаусдорфово, то это гомеоморфизм.
Конечная топология на S
- Определяется как подмножества A из S, для которых f−1(A) открыто в X
- Если S имеет существующую топологию, f непрерывна тогда и только тогда, когда существующая топология более грубая
- Если f сюръективна, конечная топология отождествляется с факторной топологией
Начальная топология на S
- Определяется как подмножества A из S, для которых A = f−1(U) для некоторого открытого подмножества U из X
- Если S имеет существующую топологию, f непрерывна тогда и только тогда, когда существующая топология более точная
- Если f инъективна, начальная топология отождествляется с топологией подпространства S
Непрерывное расширение функции
- Непрерывное расширение функции f: S → Y к X — это непрерывная функция F: X → Y такая, что F(s) = f(s) для каждого s ∈ S
- Если f не является непрерывным, оно не может иметь непрерывного расширения
- Если Y является хаусдорфовым пространством и S является плотным подмножеством X, непрерывное расширение f к X уникально
Теорема Блумберга
- Если f: R → R является произвольной функцией, существует плотное подмножество D от R такое, что ограничение f|D: D → R непрерывно
Непрерывность в теории порядка
- Функция сохранения порядка f: X → Y между частично упорядоченными множествами X и Y непрерывна, если для каждого направленного подмножества A от X, отхлебывать f(A) = f(отхлебывать A)
- Это понятие непрерывности совпадает с топологической непрерывностью при задании топологии Скотта
Непрерывность в теории категорий
- Функтор F: C → D между категориями называется непрерывным, если он осуществляется с небольшими ограничениями
- То есть, lim←i∈I F(Cя) ≅ F(lim←i∈I Cя) для любого небольшого набора I
Пространство непрерывности
- Обобщение метрических пространств и последовательностей
- Использует понятие квантов и может быть использовано для унификации метрических пространств и областей

Непрерывная функция

Непрерывная функция

Определение непрерывности

История непрерывности

Реальные функции

Частичные функции

Математическая нотация

Определение непрерывности функции

Определение через пределы последовательностей

Определения Вейерштрасса и Жордана

Определение с точки зрения контроля над остатком

Определение с использованием колебаний

Определение с использованием гиперреалов

Построение непрерывных функций

Примеры непрерывных функций

Устраняемые особенности

Примеры разрывных функций

Патологические функции

Свойства непрерывных функций

Отношение к дифференцируемости и интегрируемости

Точечные и равномерные пределы

Непрерывность направления

Полунепрерывность

Непрерывные функции между метрическими пространствами

Метрические пространства

Непрерывность функций

Топологические пространства

Альтернативные определения

Последовательная непрерывность и непрерывность

Теорема о непрерывности вещественнозначных функций

Операторы закрывания и внутреннего пространства

Фильтры и устройства предварительной очистки

Свойства непрерывных функций

Частичное упорядочение топологий

Гомеоморфизмы

Конечная топология на S

Начальная топология на S

Непрерывное расширение функции

Теорема Блумберга

Непрерывность в теории порядка

Непрерывность в теории категорий

Пространство непрерывности

Полный текст статьи:

Непрерывная функция

Похожие статьи:

Оставьте комментарий Отменить ответ