Оглавление
Обычная схема
-
Нормальные многообразия и схемы
- Нормальное многообразие или схема X является нормальным, если локальное кольцо в каждой точке является интегрально замкнутой областью.
- Аффинное многообразие X является нормальным, если кольцо O(X) регулярных функций является интегрально замкнутой областью.
- Многообразие X над полем является нормальным, если каждый конечный бирациональный морфизм от любого многообразия Y до X является изоморфизмом.
-
Геометрическая и алгебраическая интерпретации
- Морфизм многообразий конечен, если обратное изображение каждой точки конечно и морфизм правильный.
- Морфизм многообразий является бирациональным, если он ограничивается изоморфизмом между плотными открытыми подмножествами.
- Нормальное комплексное многообразие X обладает свойством связности каждого звена.
-
Нормализация
- Любая приведенная схема X имеет уникальную нормализацию: нормальную схему Y с интегральным бирациональным морфизмом Y → X.
- Нормализация схемы размерности 1 является регулярной, а нормализация схемы размерности 2 имеет только отдельные особенности.
- Нормализация обычно не используется для устранения особенностей в схемах более высокой размерности.
-
Примеры нормализации
- Нормализация острия: аффинная кривая с остроконечной сингулярностью нормализуется с помощью карты, индуцированной из отображения алгебры.
- Нормализация осей в аффинной плоскости: схема, состоящая из двух компонентов, нормализуется с помощью морфизма, индуцированного из частных отображений.
- Нормализация приводимого проективного многообразия: для однородных неприводимых многочленов нормализация задается морфизмом.