Общий заказ
-
Определение и примеры упорядоченных множеств
- Упорядоченное множество — это множество с заданным отношением порядка.
- Примеры упорядоченных множеств включают натуральные числа, действительные числа и множество рациональных чисел.
-
Свойства упорядоченных множеств
- Отношение порядка должно быть рефлексивным, антисимметричным и транзитивным.
- Упорядоченные множества могут быть линейно упорядочены или иметь частичный порядок.
- Существует понятие строгого порядка, который является строгим частичным порядком.
-
Типы упорядоченных множеств
- Линейно упорядоченные множества имеют строгий порядок и могут быть бесконечными или конечными.
- Частично упорядоченные множества могут быть бесконечными, но не все элементы упорядочены.
- Упорядоченные множества могут иметь различные типы порядков, такие как лексикографический порядок или порядок товаров.
-
Топология порядка
- Упорядоченная топология позволяет определить открытые интервалы на любом упорядоченном множестве.
- Топология порядка наследует свойства от общего порядка и может быть полной или неполной.
-
Полнота и связанные понятия
- Полностью упорядоченное множество называется полным, если каждое непустое подмножество с верхней границей имеет наименьшую верхнюю границу.
- Существуют связи между полнотой и топологией порядка, включая свойства связности и компактности.
-
Суммы порядков и разрешимость
- Для двух непересекающихся порядков существует естественный общий порядок, который называется суммой порядков.
- Теория полных порядков первого порядка разрешима, а монадическая теория счетных полных порядков второго порядка также разрешима.
-
Расширение порядка в декартовых произведениях
- Существуют различные способы расширения порядка в декартовых произведениях, включая лексикографический порядок и порядок товаров.
- Каждый из этих порядков может быть определен для декартовых произведений более чем двух множеств.
-
Связанные структуры и внешние ссылки
- Упорядоченные множества связаны с другими математическими структурами, такими как группы и кольца.
- В статье приведены ссылки на литературу для более глубокого изучения теории порядка.
Полный текст статьи: