Оглавление
- 1 Многочлены Эрмита
- 1.1 Определение и свойства многочленов Эрмита
- 1.2 Симметрия и ортогональность
- 1.3 Полнота и дифференциальное уравнение
- 1.4 Применение и история
- 1.5 Общие решения дифференциальных уравнений
- 1.6 Рекуррентные соотношения
- 1.7 Интегральная рекуррентность
- 1.8 Умбральные тождества
- 1.9 Неравенства и теоремы умножения
- 1.10 Явные выражения
- 1.11 Генерирующая функция
- 1.12 Вычисление интеграла с помощью исчисления вычетов
- 1.13 Ожидаемые значения
- 1.14 Моменты стандартной нормали
- 1.15 Асимптотическое разложение
- 1.16 Лучшее приближение
- 1.17 Особые ценности
- 1.18 Связь с другими функциями
- 1.19 Разложение полинома Эрмита
- 1.20 Примеры разложений
- 1.21 Представление дифференциального оператора
- 1.22 Преобразование Вейерштрасса
- 1.23 Апелляционная последовательность
- 1.24 Контурно-интегральное представление
- 1.25 Обобщенные многочлены Эрмита
- 1.26 Умбральная композиция
- 1.27 Отрицательная дисперсия
- 1.28 Функции отшельника
- 1.29 Дифференциальное уравнение
- 1.30 Рекурсивное отношение
- 1.31 Неравенство Кремера
- 1.32 Функции Эрмита как собственные функции преобразования Фурье
- 1.33 Преобразование Фурье функций Эрмита
- 1.34 Распределения Вигнера функций Эрмита
- 1.35 Комбинаторная интерпретация коэффициентов
- 1.36 Соотношение полноты
- 1.37 Функция E(x, y; u)
- 1.38 Преобразование Фурье гауссовых функций
- 1.39 Полный текст статьи:
- 2 Полиномы Эрмита – Arc.Ask3.Ru
Многочлены Эрмита
-
Определение и свойства многочленов Эрмита
- Многочлены Эрмита — классические ортогональные многочлены, используемые в различных областях, таких как обработка сигналов, вероятность, комбинаторика, численный анализ, физика и теория систем.
- Определяются как решения дифференциального уравнения Эрмита.
- Вероятностные многочлены Эрмита имеют опережающий коэффициент 1, а физические многочлены Эрмита — 2n.
-
Симметрия и ортогональность
- Многочлены Эрмита являются четными или нечетными функциями в зависимости от n.
- Ортогональны по отношению к весовой функции e-x^2/2 для вероятностных многочленов и e-x^2 для физических многочленов.
-
Полнота и дифференциальное уравнение
- Многочлены Эрмита образуют полный ортогональный базис для L2(R, w(x) dx).
- Вероятностные многочлены Эрмита являются решениями дифференциального уравнения Эрмита, которое можно переписать как задачу на собственные значения.
-
Применение и история
- Многочлены Эрмита используются в различных областях, таких как обработка сигналов, вероятность, комбинаторика, численный анализ, физика и теория систем.
- Впервые определены Пьером-Симоном Лапласом в 1810 году и подробно изучены Пафнутием Чебышевым в 1859 году.
- Названы в честь Чарльза Эрмита, который описал их в 1864 году.
-
Общие решения дифференциальных уравнений
- Решения уравнений второго порядка включают линейные комбинации многочленов Эрмита и сливающихся гипергеометрических функций.
- Для уравнения Эрмита физика общее решение имеет вид u(x) = C1Hλ(x) + C2hλ(x), где C1 и C2 — постоянные, Hλ(x) и hλ(x) — многочлены и функции Эрмита физика соответственно.
-
Рекуррентные соотношения
- Многочлены Эрмита удовлетворяют рекуррентным соотношениям, включающим производные и интегралы.
- Для многочленов Эрмита физика рекуррентные соотношения имеют вид Hn+1(x) = 2xHn(x) – Hn′(x).
-
Интегральная рекуррентность
- Интегральная рекуррентность для многочленов Эрмита включает интегралы по x и y.
- Для многочленов Эрмита физика интегральная рекуррентность имеет вид Hn+1(x) = 2(n+1)∫0xHn(t)dt – Hn′(0).
-
Умбральные тождества
- Умбральные тождества включают представления многочленов Эрмита через экспоненциальные производящие функции.
- Для многочленов Эрмита физика умбральные тождества включают экспоненциальные производящие функции с коэффициентами 2n.
-
Неравенства и теоремы умножения
- Многочлены Эрмита удовлетворяют неравенствам Турана и теореме умножения.
- Неравенства Турана включают квадратичные формы многочленов Эрмита.
-
Явные выражения
- Многочлены Эрмита физика могут быть явно записаны через суммы и степени.
- Обратные явные выражения включают одночлены в терминах многочленов Эрмита.
-
Генерирующая функция
- Многочлены Эрмита задаются экспоненциальной производящей функцией, включающей суммы по степеням t.
-
Вычисление интеграла с помощью исчисления вычетов
- Можно вычислить интеграл, используя исчисление вычетов, и получить желаемую производящую функцию.
-
Ожидаемые значения
- Если X – случайная величина с нормальным распределением, стандартным отклонением 1 и ожидаемым значением μ, то E[Hn(X)] = μn.
-
Моменты стандартной нормали
- Моменты стандартной нормали могут быть посчитаны непосредственно из соотношения для четных индексов.
-
Асимптотическое разложение
- Асимптотически, при n → ∞, разложение e-x2/2 ⋅ Hn(x) ∼ 2nπΓ(n+1/2) cos(x√2n − nπ/2).
- В некоторых случаях, касающихся более широкого диапазона оценки, необходимо учитывать коэффициент изменения амплитуды.
-
Лучшее приближение
- Лучшее приближение, учитывающее изменение частоты, дается по формуле e-x2/2 ⋅ Hn(x) ∼ (2n/e)n2/2 cos(x√2n+1 − x2/3 − nπ/2) (1 − x2/2n+1)−1/4.
-
Особые ценности
- Многочлены Эрмита, вычисленные при нулевом аргументе Hn(0), называются числами Эрмита.
-
Связь с другими функциями
- Многочлены Эрмита могут быть выражены как частный случай многочленов Лагерра.
- Многочлены Эрмита физика могут быть выражены как частный случай функций параболического цилиндра.
-
Разложение полинома Эрмита
- Некоторые функции можно выразить в виде бесконечной суммы многочленов Эрмита.
- Частичные суммы разложения Эрмита по f сходятся к тому, что в Lp норма тогда и только тогда, когда 4/3 < p < 4.
-
Примеры разложений
- xn = n!2n∑k=0⌊n/2⌋1k!H2n-2k(x).
- eax = ea2/4∑n≥0ann!2nHn(x).
- e-a2x2 = ∑n≥0(−1)n2nHn(x).
- erf(x) = 2π∫0x e-t2dt = 1/√2π∑k≥0(−1)kk!H2k(x).
- удар(2x) = e∑k≥01(2k)!H2k(x).
- синх(2x) = e∑k≥01(2k+1)!H2k+1(x).
-
Представление дифференциального оператора
- Коэффициенты степенного ряда экспоненты известны
- Производные более высокого порядка от одночлена xn могут быть записаны явно
- Это представление приводит к формуле для коэффициентов Hn
-
Преобразование Вейерштрасса
- Преобразование Вейерштрасса (√2)nHen(x/√2) равно xn
- Преобразование превращает ряд многочленов Эрмита в ряд Маклорена
-
Апелляционная последовательность
- Существование формального степенного ряда g(D) с ненулевым постоянным коэффициентом
- Hen(x) = g(D) xn
- Многочлены образуют апелляционную последовательность
-
Контурно-интегральное представление
- Многочлены Эрмита имеют представление в терминах контурного интеграла
- Контур опоясывает начало координат
-
Обобщенные многочлены Эрмита
- Ортогональны относительно нормального распределения вероятностей
- Масштабирование приводит к обобщенным многочленам Эрмита
-
Умбральная композиция
- Полиномиальная последовательность (Онn[α] ∘ Онn[β])(x) называется умбральной композицией
- Удовлетворяет тождествам
-
Отрицательная дисперсия
- Обозначается как Онn[−α](x)
- Коэффициенты являются абсолютными значениями коэффициентов Онn[α](x)
-
Функции отшельника
- Определяются из многочленов Эрмита
- Являются ортонормированными и образуют ортонормированный базис L2(R)
- Связаны с функцией Уиттекера Dn(z)
-
Дифференциальное уравнение
- Функции Эрмита удовлетворяют дифференциальному уравнению
- Уравнение эквивалентно уравнению Шредингера для гармонического осциллятора
-
Рекурсивное отношение
- Функции Эрмита подчиняются рекурсивным соотношениям
- Производные могут быть вычислены эффективно
-
Неравенство Кремера
- Функции Эрмита удовлетворяют оценке |ψn(x)| ≤ π−1/4
-
Функции Эрмита как собственные функции преобразования Фурье
- Функции Эрмита являются собственными функциями непрерывного преобразования Фурье
-
Преобразование Фурье функций Эрмита
- Преобразование Фурье функции Эрмита n-го порядка связано с многочленом Лагерра n-го порядка.
- Функции Эрмита являются ортонормированным базисом L2(R), диагонализирующим оператор преобразования Фурье.
-
Распределения Вигнера функций Эрмита
- Функция распределения Вигнера функции Эрмита n-го порядка связана с многочленом Лагерра n-го порядка.
- Это фундаментальный результат для квантового гармонического осциллятора.
-
Комбинаторная интерпретация коэффициентов
- Абсолютное значение коэффициента xk в многочлене Эрмита Hen (x) равно числу разбиений набора из n элементов на k синглтонов и n − k/2 пар.
- Сумма абсолютных значений коэффициентов дает общее количество разбиений на одиночки и пары.
-
Соотношение полноты
- Формула Кристоффеля–Дарбу для многочленов Эрмита связывает их с другими многочленами.
- В смысле распределений выполняется тождество полноты для функций Эрмита.
-
Функция E(x, y; u)
- Функция E(x, y; u) является двумерной гауссовой плотностью вероятности на R2.
- При u близко к 1, функция E(x, y; u) очень сконцентрирована вокруг линии y = x и очень разбросана по этой линии.
-
Преобразование Фурье гауссовых функций
- Многочлен Эрмита представляется в виде интеграла от гауссовой функции.
- Это позволяет выразить функцию E(x, y; u) через интегралы и преобразования Фурье.