Сопряженное представление
-
Определение и свойства сопряженного представления
- Сопряженное представление – это представление алгебры Ли группы Ли, обратное к собственному представлению.
- Сопряженное представление является линейным отображением, которое сохраняет структуру алгебры Ли.
- Сопряженное представление связано с оператором ad, который действует на векторах алгебры Ли.
-
Примеры и свойства
- Если G – абелева группа, то сопряженное представление тривиально.
- Если G является матричной группой Ли, то сопряженное отображение задается через Adg(x) = gxg−1.
- В случае SL(2, R) сопряженное представление эквивалентно действию на квадратичные формы.
-
Свойства сопряженного отображения
- Сопряженное отображение является линейным и сохраняет структуру алгебры Ли.
- Оператор ad также является линейным и сохраняет структуру алгебры Ли.
- Сопряженное отображение коммутирует с оператором ad.
-
Изображение G в сопряженном представлении
- Сопряженное представление обозначается через Ad(G) и является образом сопряженного представления.
- Если G связно, то ядро сопряженного представления совпадает с центром G.
-
Корни полупростой группы Ли
- В случае полупростой группы Ли ненулевые веса сопряженного представления образуют корневую систему.
- Для группы SL(n, R) корни определяются как собственные векторы диагональной части алгебры Ли.
-
Пример SL(2, R)
- В примере SL(2, R) корни определяются как векторы вида ei−ej.
- Максимальный тор T группы SL(2, R) состоит из матриц с определителем 1 и действует тривиально на диагональные элементы.
-
Варианты и аналоги
- Сопряженное представление может быть определено для алгебраических групп над любым полем.
- Соприсоединенное представление является противоположным представлению сопряженного представления.
-
Орбитальный метод
- Неприводимые представления группы Ли должны быть проиндексированы по ее сопрягаемым орбитам.
-
Смотрите также
- Сопряженное расслоение – это расслоение алгебры Ли, связанное с основным расслоением.
- Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.