Процесс Бернулли

• Определение и свойства процесса Бернулли

  • Процесс Бернулли — это случайный процесс, в котором монета подбрасывается бесконечное количество раз. 
  • Вероятность выпадения орла равна p, а решки — 1-p. 
  • Процесс Бернулли обладает свойством эргодичности, что означает, что его среднее значение не зависит от начального состояния. 

• Топология пространства продукта

  • Пространство продукта Ω = 2N представляет собой множество всех наборов цилиндров. 
  • Мера Бернулли является инвариантной мерой в пространстве продуктов. 

• Оператор переноса и его свойства

  • Оператор переноса LT создает новую функцию на пространстве функций B → R. 
  • Оператор LT является линейным оператором с собственным значением Фробениуса-Перрона, равным 1. 
  • Собственный вектор оператора LT, соответствующий собственному значению 1, является мерой Бернулли. 

• Двоичное преобразование и его связь с процессом Бернулли

  • Двоичное преобразование T переводит число y в число 2y mod 1. 
  • Отображение T индуцирует гомоморфизм на единичном интервале, который называется преобразованием Бейкера. 
  • Многочлены Бернулли имеют дискретный спектр и являются собственными функциями оператора LT. 

• Одометр и его топологическая группа

  • Одометр — это пример топологической группы, где преобразование T определяется сложением двух базовых чисел. 
  • Мера Бернулли сохраняется только для случая p = 1/2, в противном случае она консервативна. 

• Последовательность Бернулли и ее свойства

  • Последовательность Бернулли — это список натуральных чисел, связанных с процессом Бернулли. 
  • Почти все последовательности Бернулли являются эргодическими. 

• Извлечение случайности из процесса Бернулли

  • Из процесса Бернулли можно извлечь процесс Бернулли с p = 1/2 с помощью экстрактора фон Неймана. 
  • Экстрактор фон Неймана группирует биты входного потока и преобразует их в выходные данные, где вероятность каждого бита равна p(1-p). 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.