Оглавление
- 1 Проективное многообразие
- 1.1 Определение проективных многообразий
- 1.2 Структура и свойства
- 1.3 Классификация и модули
- 1.4 Сложные проективные многообразия
- 1.5 Проективные схемы
- 1.6 Двойственность и линейные системы
- 1.7 Проективные схемы и линейные пучки
- 1.8 Полные и проективные многообразия
- 1.9 Примеры и основные инварианты
- 1.10 Степень и нормализация
- 1.11 Кольцо сечений и каноническое кольцо
- 1.12 Проекционные кривые и гиперповерхности
- 1.13 Абелевы многообразия и группа Пикара
- 1.14 Группа Пикара и якобиан
- 1.15 Абелевы многообразия
- 1.16 Проекции и конечные морфизмы
- 1.17 Двойственность и линейная система
- 1.18 Когомологии когерентных пучков
- 1.19 Гладкие проективные многообразия
- 1.20 Схемы Гильберта
- 1.21 Схема Гильберта
- 1.22 Сложные проективные многообразия
- 1.23 Комплексные многообразия Келера
- 1.24 Теорема ГАГИ и Чоу
- 1.25 Сложные торы и сложные абелевы многообразия
- 1.26 Кодайра исчезает
- 1.27 Связанные понятия
- 1.28 Полный текст статьи:
- 2 Проективное разнообразие
Проективное многообразие
-
Определение проективных многообразий
- Проективное многообразие — это замкнутое подмногообразие проективного пространства.
- Определяется однородным простым идеалом в координатном кольце.
- Основные инварианты можно считать из многочлена Гильберта.
-
Структура и свойства
- Проективные многообразия полны и не имеют “пропущенных” точек.
- Ограничения конечности когомологий пучков.
- Двойственность Серра аналогична двойственности Пуанкаре.
-
Классификация и модули
- Программа классификации многомерных проективных многообразий приводит к модулям.
- Схемы Гильберта параметризуют замкнутые подсхемы проективного пространства.
-
Сложные проективные многообразия
- Теория сложных проективных многообразий богата и восходит к классике.
- Принцип GAGA утверждает эквивалентность геометрии проективных комплексных аналитических пространств и проективных комплексных многообразий.
-
Проективные схемы
- Проективные схемы — это более общие алгебро-геометрические объекты.
- Проективное пространство над кольцом A — это объединение аффинных схем.
- Замкнутые подсхемы проективного пространства соответствуют однородным идеалам.
-
Двойственность и линейные системы
- Делитель на проективном многообразии соответствует линейному расслоению.
- Проективное пространство над любой схемой может быть определено как слоистое произведение схем.
-
Проективные схемы и линейные пучки
- Проективная схема X над S — это замкнутое погружение, за которым следует проекция на S.
- Линейный пучок L на X считается очень большим, если существует погружение, за которым следует закрытое погружение.
- X является проективным тогда и только тогда, когда оно правильное и существует очень большой пучок на X.
-
Полные и проективные многообразия
- Многообразие является полным, если оно правильное над k.
- Гладкая кривая C является проективной тогда и только тогда, когда она завершена.
- Лемма Чоу утверждает, что для любого полного многообразия X существует проективное многообразие Z и бирациональный морфизм Z → X.
-
Примеры и основные инварианты
- Любой однородный идеал в кольце многочленов дает проективную схему.
- Произведение двух проективных пространств является проективным.
- Однородное координатное кольцо X является градуированным кольцом, его многочлен Гильберта кодирует внешнюю геометрию X.
-
Степень и нормализация
- Степень X определяется как мощность конечного множества гиперплоскостей в “общих положениях”.
- Нормализация проективного многообразия является проективной и зависит от вложения X в проективное пространство.
-
Кольцо сечений и каноническое кольцо
- Кольцо сечений L на X называется градуированным кольцом.
- Если X является нормальным, а L очень большим, то R(X, L) является интегральным замыканием однородного координатного кольца X.
- Каноническое кольцо X называется обобщенным кольцом сечений, если K_X является каноническим делителем на X.
-
Проекционные кривые и гиперповерхности
- Проективные схемы размерности один называются проективными кривыми.
- Гладкие проективные кривые изоморфны тогда и только тогда, когда их функциональные поля изоморфны.
- Каждое неприводимое замкнутое подмножество Pn коразмерности один является гиперповерхностью.
-
Абелевы многообразия и группа Пикара
- Группа Пикара X — это множество классов изоморфизма линейных расслоений на X.
- Она изоморфна H1(X, OX∗) и является неотъемлемым понятием.
-
Группа Пикара и якобиан
- Группа Пикара изоморфна Z с помощью градусной карты.
- Якобиан кривой играет важную роль в её изучении.
- Якобиан эллиптической кривой равен самой кривой.
- Якобиан кривой рода g имеет размерность g.
-
Абелевы многообразия
- Абелевы многообразия — это полные и групповые многообразия.
- Они всегда коммутативны и допускают линейное расслоение.
- Примеры: эллиптические кривые, якобиевы многообразия, поверхности K3.
-
Проекции и конечные морфизмы
- Проекции из линейного подпространства в Pn являются морфизмами.
- Проекции могут быть использованы для сокращения размерности проективных многообразий.
- Существует конечная карта от проективного многообразия к гиперповерхности в Pd+1.
-
Двойственность и линейная система
- Двойственность проективного пространства параметризует гиперплоскости.
- Пространство модулей гиперплоскостей на Pn называется P˘kn.
- Линейная система V определяет карту на P(V).
-
Когомологии когерентных пучков
- Когомологии когерентных пучков на проективной схеме удовлетворяют важным теоремам.
- Группы когомологий пучка Hi в нетеровском пространстве обращаются в нуль при i > размерности пространства.
- Эйлерова характеристика пучка F является целым числом.
-
Гладкие проективные многообразия
- Канонический пучок wX является линейным расслоением на гладком проективном многообразии.
- Двойственность Серра утверждает, что арифметический и геометрический род совпадают.
- Теорема Римана–Роха связывает род с размерностью H0(X, wX).
-
Схемы Гильберта
- Схемы Гильберта параметризуют замкнутые подмногообразия проективной схемы.
- Схемы Гильберта являются примерами пространств модулей.
-
Схема Гильберта
- Параметризует замкнутые подмногообразия с заданным многочленом Гильберта
- Существует схема HXP над k, такая что для любой k-схемы T существует биекция X × HXP → HXP
- Для P(z) = (z + r)r схема HXP называется грассманианом r-плоскостей в Pn
-
Сложные проективные многообразия
- Все алгебраические многообразия являются сложными алгебраическими многообразиями
- Комплексное многообразие X дает комплексное аналитическое пространство X(C)
- Геометрические свойства X отражаются на X(C)
-
Комплексные многообразия Келера
- Комплексное проективное пространство является многообразием Келера
- Для любого проективного алгебраического многообразия X, X(C) является компактным коллектором Келера
- Теорема Кодайры о вложении дает критерий проективности многообразия Келера
-
Теорема ГАГИ и Чоу
- Теорема Чоу утверждает, что каждое аналитическое подмногообразие комплексного проективного пространства является алгебраическим
- Мероморфные функции в комплексном проективном пространстве являются рациональными
- Голоморфное отображение между проективными многообразиями является алгебраическим
-
Сложные торы и сложные абелевы многообразия
- Комплексное многообразие, связанное с абелевым многообразием, является компактной комплексной группой Ли
- Сложные торы имеют форму (g, L), где g – размерность тора, а L – решетка
- Эллиптическая функция Вейерштрасса определяет замкнутое погружение
-
Кодайра исчезает
- Фундаментальная теорема Кодайры утверждает, что для обширного линейного расслоения L на гладком проективном многообразии X, Hi(X, L−1) = 0 для i < n
- Исчезновение Кодайры не удается для гладкого проективного многообразия с положительной характеристикой
-
Связанные понятия
- Мультипроективное многообразие
- Взвешенное проективное многообразие
- Адекватное отношение эквивалентности
- Схема Гильберта
- Теорема о гиперплоскости Лефшеца
- Минимальная модельная программа