Оглавление
Универсальное матричное кольцо
-
Определение универсального матричного кольца
- Универсальное матричное кольцо (F_BOS_n) размера n с переменными X1, …, Xm.
- Характеризуется универсальным свойством: любое отображение Xi ↦ Ai распространяется на кольцевой гомоморфизм F_n → Mn(R).
- Явно, это подалгебра из матричного кольца Mn(k[(Xl)ij]), генерируемая n-на-n матрицами X1, …, Xm.
-
Геометрическая перспектива
- Универсальное свойство означает, что любой кольцевой гомоморфизм из k⟨t1, …, tm⟩ к матричным кольцевым множителям проходит через F_n.
- В алгебраической геометрии кольцо многочленов k[t, …, tm] является координатным кольцом аффинного пространства k^m.
- Свободное кольцо k⟨t1, …, tm⟩ играет роль координатного кольца в некоммутативной алгебраической геометрии.
-
Максимальный спектр универсального матричного кольца
- Для простоты предположим, что k алгебраически замкнуто.
- Пусть A – алгебра над k, и пусть Спекуляцияn(A) обозначает множество всех максимальных идеалов m в таком, что A/m ≈ Mn(k).
- Если A коммутативно, то Спекуляция1(A) является максимальным спектром А и Спекуляцияn(A) является пустым для любого n > 1.