Оглавление [Скрыть]
- 1 SL2(R)
- 1.1 Подгруппа и нормализация
- 1.2 Групповое действие и факторы
- 1.3 (Полу-) прямой продукт и прямая сумма
- 1.4 Бесплатный продукт и изделие из венка
- 1.5 Ядро и изображение
- 1.6 Простые, конечные, бесконечные, непрерывные, мультипликативные, добавки
- 1.7 Циклические, абелевы, двугранные, нильпотентные, разрешимые
- 1.8 Глоссарий по теории групп
- 1.9 Список тем по теории групп
- 1.10 Элементы SL(2, R) и их действия
- 1.11 Классификация элементов SL(2)
- 1.12 Разложение Ивасавы
- 1.13 Топология и универсальное покрытие
- 1.14 Алгебраическая структура
- 1.15 Теория представлений
- 1.16 Полный текст статьи:
- 2 SL2(R)
SL2(R)
-
Подгруппа и нормализация
- Подгруппа — это подмножество группы, на которое действует группа.
- Нормальная подгруппа — это подгруппа, которая при действии группы на себя дает исходную группу.
-
Групповое действие и факторы
- Групповое действие — это действие группы на себя.
- Группа факторов — это подгруппа, на которую действует группа.
-
(Полу-) прямой продукт и прямая сумма
- (Полу-) прямой продукт — это группа, полученная из двух групп путем их умножения.
- Прямая сумма — это группа, полученная из двух групп путем их сложения.
-
Бесплатный продукт и изделие из венка
- Бесплатный продукт — это группа, полученная из двух групп путем их умножения и добавления.
- Изделие из венка — это группа, полученная из двух групп путем их умножения и вычитания.
-
Ядро и изображение
- Ядро — это подгруппа, которая при действии группы на себя дает исходную группу.
- Изображение — это подгруппа, которая при действии группы на себя дает исходную группу.
-
Простые, конечные, бесконечные, непрерывные, мультипликативные, добавки
- Простые группы — это группы, которые не имеют подгрупп.
- Конечные группы — это группы, которые имеют конечное число элементов.
- Бесконечные группы — это группы, которые не имеют конечного числа элементов.
- Непрерывные группы — это группы, которые действуют непрерывно.
- Мультипликативные группы — это группы, которые действуют умножением.
- Добавки — это группы, которые действуют добавлением.
-
Циклические, абелевы, двугранные, нильпотентные, разрешимые
- Циклические группы — это группы, которые состоят из элементов, образующих цикл.
- Абелевы группы — это группы, в которых все элементы обратимы.
- Двугранные группы — это группы, которые состоят из элементов, образующих двугранный угол.
- Нильпотентные группы — это группы, которые имеют бесконечное число элементов, но не имеют подгрупп.
- Разрешимые группы — это группы, которые имеют конечное число элементов и не имеют подгрупп.
-
Глоссарий по теории групп
- Глоссарий по теории групп включает термины, связанные с группами и их свойствами.
- Примеры включают подгруппы, нормальные подгруппы, групповые действия, факторы, (полу-) прямые продукты, прямые суммы, бесплатные продукты, изделия из венка, ядра, изображения, простые, конечные, бесконечные, непрерывные, мультипликативные, добавки, циклические, абелевы, двугранные, нильпотентные, разрешимые.
-
Список тем по теории групп
- Включает темы, связанные с различными группами, такими как циклические, абелевы, двугранные, нильпотентные, разрешимые группы.
- Примеры включают подгруппы, нормальные подгруппы, групповые действия, факторы, (полу-) прямые продукты, прямые суммы, бесплатные продукты, изделия из венка, ядра, изображения, простые, конечные, бесконечные, непрерывные, мультипликативные, добавки, циклические, абелевы, двугранные, нильпотентные, разрешимые группы.
-
Элементы SL(2, R) и их действия
- Элементы SL(2, R) действуют как сжатое отображение евклидовой плоскости и как перенос гиперболической плоскости.
- Гиперболические элементы модулярной группы действуют как диффеоморфизмы Аносова тора.
- Гиперболические элементы объединяются в двухкомпонентную группу стандартных сжатий × ±I.
-
Классификация элементов SL(2)
- Элементы SL(2) классифицируются с точностью до сопряженности по следу и определителю.
- Для абсолютного значения следа менее 2 существует два класса сопряженности, для 2 — три, для более 2 — один.
-
Разложение Ивасавы
- Декомпозиция группы Ивасавы разбивает SL(2, R) на три подгруппы: эллиптическую, гиперболическую и параболическую.
-
Топология и универсальное покрытие
- PSL(2, R) можно описать как единичное касательное расслоение гиперболической плоскости.
- SL(2, R) является двукратным покрытием PSL(2, R) и представляет собой пучок спиноров.
- Универсальная охватывающая группа sl(2, R)¯ является линейным расслоением над гиперболической плоскостью.
-
Алгебраическая структура
- Центром SL(2, R) является двухэлементная группа {±1}.
- Дискретные подгруппы PSL(2, R) называются фуксовыми группами.
- Группа окружностей SO(2) является максимальной компактной подгруппой SL(2, R).
-
Теория представлений
- SL(2, R) является вещественной, некомпактной простой группой Ли.
- Алгебра Ли SL(2, R) — это алгебра всех вещественных, бесследных матриц 2 × 2.
- SL(2, R) не имеет нетривиальных конечномерных унитарных представлений.
- Теория бесконечномерного представления SL(2, R) интересна и включает несколько семейств унитарных представлений.