Оглавление
Собственные значения и векторы
-
Определение и свойства матрицы
- Матрица – это прямоугольная таблица чисел, которая отображает строки на столбцы.
- Матрицы могут быть определены как линейные операторы, действующие на векторы.
- Матрица A имеет размерность n на n, а вектор-столбец v является ее столбцом.
-
Собственные значения и векторы
- Собственные значения λ матрицы A определяют собственные векторы v, такие что Av = λv.
- Собственные векторы могут быть найдены путем решения характеристического уравнения.
- Собственные значения могут быть комплексными, даже если матрица имеет вещественные элементы.
- Собственные значения могут быть иррациональными, но если матрица имеет алгебраические элементы, то и собственные значения должны быть алгебраическими.
-
Спектр матрицы
- Спектр матрицы – это список собственных значений с их кратностями.
- Спектральный радиус матрицы – это максимальное абсолютное значение ее собственных значений.
-
Алгебраическая и геометрическая кратность
- Алгебраическая кратность – это наибольшее целое число k, такое что (λ − λi)k делит характеристический многочлен.
- Геометрическая кратность – это размерность собственного пространства, связанного с λ.
- Геометрическая кратность не может превышать алгебраическую кратность и всегда должна быть не меньше единицы.
-
Собственные пространства и собственное основание
- Собственное пространство E – это множество векторов, удовлетворяющих уравнению (A − λI)v = 0.
- E является линейным подпространством и замкнуто при сложении и скалярном умножении.
- Размерность E, связанная с λ, называется геометрической кратностью λ.
- Собственное основание – это множество всех собственных векторов, связанных с λ.
- Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.