Собственные значения и собственные векторы

Оглавление1 Собственные значения и векторы1.1 Определение и свойства матрицы1.2 Собственные значения и векторы1.3 Спектр матрицы1.4 Алгебраическая и геометрическая кратность1.5 Собственные […]

Собственные значения и векторы

  • Определение и свойства матрицы

    • Матрица – это прямоугольная таблица чисел, которая отображает строки на столбцы. 
    • Матрицы могут быть определены как линейные операторы, действующие на векторы. 
    • Матрица A имеет размерность n на n, а вектор-столбец v является ее столбцом. 
  • Собственные значения и векторы

    • Собственные значения λ матрицы A определяют собственные векторы v, такие что Av = λv. 
    • Собственные векторы могут быть найдены путем решения характеристического уравнения. 
    • Собственные значения могут быть комплексными, даже если матрица имеет вещественные элементы. 
    • Собственные значения могут быть иррациональными, но если матрица имеет алгебраические элементы, то и собственные значения должны быть алгебраическими. 
  • Спектр матрицы

    • Спектр матрицы – это список собственных значений с их кратностями. 
    • Спектральный радиус матрицы – это максимальное абсолютное значение ее собственных значений. 
  • Алгебраическая и геометрическая кратность

    • Алгебраическая кратность – это наибольшее целое число k, такое что (λ − λi)k делит характеристический многочлен. 
    • Геометрическая кратность – это размерность собственного пространства, связанного с λ. 
    • Геометрическая кратность не может превышать алгебраическую кратность и всегда должна быть не меньше единицы. 
  • Собственные пространства и собственное основание

    • Собственное пространство E – это множество векторов, удовлетворяющих уравнению (A − λI)v = 0. 
    • E является линейным подпространством и замкнуто при сложении и скалярном умножении. 
    • Размерность E, связанная с λ, называется геометрической кратностью λ. 
    • Собственное основание – это множество всех собственных векторов, связанных с λ. 
    • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала. 

Полный текст статьи:

Собственные значения и собственные векторы

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх