Тензорная алгебра
-
Определение тензорной алгебры
- Тензорная алгебра — это алгебра над полем, которая имеет тензорное произведение как умножение.
- Тензорное произведение двух векторных пространств является линейным отображением, которое отображает векторы в тензоры.
-
Свойства тензорного произведения
- Тензорное произведение обладает ассоциативностью и дистрибутивностью.
- Существует естественный изоморфизм между тензорным произведением и прямым произведением.
- Тензорное произведение является коассоциативным и кодистрибутивным.
-
Примеры тензорных произведений
- Тензорное произведение векторов и тензоров является тензором.
- Тензорное произведение двух тензоров является тензором.
-
Биалгебра и коалгебра
- Биалгебра — это алгебра, которая имеет как умножение, так и коумножение, и они должны быть совместимы.
- Коалгебра — это алгебра, которая имеет только коумножение, и она должна быть совместима с умножением.
-
Алгебра Хопфа
- В алгебре Хопфа антипод добавляется к аксиомам биалгебры.
- Антипод на векторах и тензорах определяется через скалярное произведение и антикоммутатор.
-
Свободная от кофе, совместно завершенная коалгебра
- В тензорной алгебре существует другое копроизведение, которое называется побочным продуктом.
- Побочный продукт приводит к образованию коалгебры, которая является двойственной к алгебре на T (V∗).
- Эта коалгебра называется коаксиально-свободной и может быть превращена в биалгебру с помощью специального умножения.
- Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.
Полный текст статьи: