Оглавление
- 1 Тензорное произведение гильбертовых пространств
- 1.1 Определение тензорного произведения гильбертовых пространств
- 1.2 Явная конструкция тензорного произведения
- 1.3 Универсальное свойство тензорного произведения
- 1.4 Бесконечные тензорные произведения
- 1.5 Операторные алгебры
- 1.6 Свойства тензорного произведения
- 1.7 Примеры и области применения
- 1.8 Изоморфизм L2(X) ⊗ L2(Y) и L2(X × Y)
- 1.9 Тензорные произведения в квантовой механике
- 1.10 Пример с квантовым гармоническим осциллятором
- 1.11 Пространства Фока
- 1.12 Полный текст статьи:
- 2 Тензорное произведение гильбертовых пространств – Arc.Ask3.Ru
Тензорное произведение гильбертовых пространств
-
Определение тензорного произведения гильбертовых пространств
- Тензорное произведение гильбертовых пространств — это способ расширить конструкцию тензорного произведения.
- Результат тензорного произведения двух гильбертовых пространств — другое гильбертово пространство.
- Тензорное произведение позволяет объединить гильбертовы пространства в симметричную моноидальную категорию.
-
Явная конструкция тензорного произведения
- Тензорное произведение можно определить без обращения к метрическому пространству.
- Операторы конечного ранга вложены в гильбертово пространство операторов Гильберта–Шмидта.
- Скалярное произведение в гильбертовом пространстве операторов Гильберта–Шмидта задается через ортонормированный базис.
-
Универсальное свойство тензорного произведения
- Существует слабое отображение Гильберта–Шмидта, которое характеризует тензорное произведение однозначно.
- Это свойство применимо к тензорному произведению любого конечного числа гильбертовых пространств.
-
Бесконечные тензорные произведения
- Исторически предлагались два определения для тензорного произведения коллекции гильбертовых пространств.
- Современное определение использует единичные векторы в каждом гильбертовом пространстве.
-
Операторные алгебры
- Тензорное произведение алгебр фон Неймана соответствует алгебре фон Неймана ограниченных операторов на тензорном произведении.
- Бесконечные тензорные произведения алгебр фон Неймана можно использовать без определения опорных состояний.
-
Свойства тензорного произведения
- Если гильбертовы пространства имеют ортонормированные базисы, то их тензорное произведение также имеет ортонормированный базис.
- Гильбертова размерность тензорного произведения равна произведению гильбертовых размерностей.
-
Примеры и области применения
- Тензорные произведения возникают в различных областях, таких как квантовая статистическая механика и теория вероятностей.
- Примеры включают пространства функций и пространств операторов.
-
Изоморфизм L2(X) ⊗ L2(Y) и L2(X × Y)
- L2(X) ⊗ L2(Y) и L2(X × Y) изоморфны L2(X; L2(Y))
-
Тензорные произведения в квантовой механике
- Тензорные произведения гильбертовых пространств часто возникают в квантовой механике
- Если частица описывается гильбертовым пространством H1, а другая частица описывается H2, то система описывается тензорным произведением H1 и H2
-
Пример с квантовым гармоническим осциллятором
- Пространство состояний квантового гармонического осциллятора имеет вид L2(R)
- Пространство состояний двух осцилляторов равно L2(R) ⊗ L2(R), которое изоморфно L2(R2)
- Двухчастичная система описывается волновыми функциями вида ψ(x1, x2)
-
Пространства Фока
- Более сложный пример – пространства Фока, описывающие переменное число частиц